XXXIV. Приложения неевклидовой геометрии к механике, физике и космологии

В заключительной части мемуара «О началах геометрии» Лобачевский говорит: «Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой геометрии в механику, и не встретится ли здесь принятых уже и несомнительных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничивать или совсем не допускать зависимости линий и углов». Смысл этого замечания заключается в том, что противопоказания по отношению к неевклидовой геометрии могут обнаружиться не в логических концепциях геометрии, а в механике, точнее — в механическом эксперименте; может оказаться, что к противоречию приводит не новая геометрия в ее логическом развитии, а расхождение между нею и механикой. Речь идет, таким образом, не о противоречивости неевклидовой геометрии, а о том, может ли она получить применение в механике, — там, где такое применение получила геометрия Евклида. Но Лобачевский делает отсюда правильный вывод, что такого рода факты не могут привести к опровержению неевклидовой геометрии, а потребуют изменения в самой механике.

«Од на кож можно предвидеть,— замечает Лобачевский там же,— что перемены в механике при новых началах геометрии будут того же рода, как показал Лаплас (Меcanique celeste, t. I, liv. l,ch. II), предполагая возможной всякую зависимость скорости от силы или, выразимся вернее, предполагая силы, измеряемые всегда скоростью, подчиненными другому закону в соединении, нежели принятому сложению их».

Совершенно естественно, что классическая механика, которая неразрывно связана с геометрией уже с первых же своих шагов, не укладывается в рамки новой геометрии. Так, например, поступательное движение твердого тела, как оно имеет место в предположении евклидовой геометрии, не может происходить в пространстве Лобачевского.

В самом деле, поступательное прямолинейное движение в классической механике характеризуется тем, что все точки тела описывают равные и параллельные прямолинейные пути. Между тем, если точка А твердого тела движется по прямой АВ, то никакая другая точка М не может описывать прямой линии. В самом деле, точка М при этом должна оставаться на том же расстоянии от АВ, а геометрическое место точек, отстоящих на данное расстояние от неподвижной прямой, в гиперболической плоскости не представляет собой прямой линии. Изменение геометрии неизбежно влечет за собой изменение механики уже на первых ее шагах, в кинематике. Это было очень скоро усмотрено, и уже в конце прошлого века вызвало работы, посвященные механике неевклидова пространства.

Уже в 1879 г. де-Тилли указал на простейшие модификации, которые признание неевклидовой геометрии должно внести в кинематику¹; он, однако, стоял еще на той точке зрения, что это должно привести к опровержению геометрии Лобачевского.

Но вслед за этим Болл фактически развернул всю кинематику гиперболического пространства, отнюдь не склоняясь при этом к отрицанию неевклидовой геометрии. Укажем только последнюю из его работ, помещенную в 1883 г. в XV томе Британской энциклопедии под словом «Измерение» (Measurement). За кинематикой естественно последовала и неевклидова динамика, построенная главным образом Киллингом, тем же Боллом, Либманом и, можно сказать, завершенная А. П. Котельниковым². Классическая механика явно или неявно строится на евклидовой теории векторов (сложение скоростей, сил, как известно, производится по правилам сложения векторов). Но сложившаяся теория векторов построена на основе евклидовой геометрии и, естественно, не может служить для построения механики в неевклидовом пространстве. Но А. П. Котельников показал, что для построения механики неевклидова пространства возможно и наиболее целесообразно построить специальную теорию векторов, другую теорию комплексных чисел. Геометрия Лобачевского проникла, таким образом, в теорию векторов и в учение о комплексных числах. В Казани, где была создана неевклидова геометрия, была приведена к завершению и неевклидова механика. Но все эти сочинения, как они тогда строились, представляли собой совершенно абстрактные исследования. Это были непротиворечивые системы, чрезвычайно своеобразные, поскольку они вытекали из иных принципов, нежели классическая механика. Они уже не вызывали сомнений, но конкретного применения они еще не имели.

В 1905 г. появился первый мемуар Эйнштейна, положивший начало учению, известному в настоящее время под названием «теории относительности»,— точнее, специальной теории относительности. Всплыл старый спор о том, можно ли говорить об абсолютном движении, об исключительной среде, по отношению к которой действуют закон инерции и закон всемирного тяготения. Вопрос этот имеет очень продолжительную историю. Но чрезвычайно утонченные средства измерения, достигнутые в последнее время, и результаты этих измерений поставили этот вопрос с особенной остротой³. Мы не имеем возможности входить в сколько-нибудь обстоятельное изложение этого учения; но и совершенно его обойти мы не можем.

Если каждая точка М среды М с течением времени совпадает с точками М' (вообще различными) среды М', то мы говорим, что среда М движется относительно среды М'. Самое это определение при каждом движении необходимо предусматривает среду, относительно которой это движение происходит. Издавна «релятивисты» утверждали, что никак иначе движение понимать невозможно, что всякое движение неизбежно по самому своему значению имеет относительный характер. Тело (и связанная с ним неизменяемая среда) может находиться в движении относительно одной среды и в то же время в покое относительно другой среды; оно может совершать равномерное движение относительно одной среды и неравномерное относительно другой. Во всякий момент движения каждая точка М среды М совпадает с некоторой точкой М' среды М '- но в такой же мере во всякий момент каждая точка среды да' совпадает с некоторой точкой среды М ; можно с одинаковым правом говорить о движении среды М относительно среды М ', как и о движении среды М ' относительно среды М . Каждая точка одной среды при движении вычерчивает определенную траекторию в другой среде, имеет относительно нее определенную скорость, определенное ускорение. Не имеет никакого смысла говорить о движении, о скорости, об ускорении точки, не указывая, относительно какой среды происходит движение, к какой среде мы относим скорость, ускорение, другие элементы и понятия, связанные с движением. Такова была точка зрения релятивистов. К числу их нужно относить Декарта и его школу, хотя вполне выдержанным в этом смысле его учение о движении считать нельзя.

В противоположность релятивистам их противники — абсолютисты — утверждали, что можно говорить о покое или движении тела без указания «среды референции», т. е. той среды, к которой мы относим движение, что каждое из двух утверждений — «тело находится в покое», «тело движется»— имеет содержание само по себе, что существует как абсолютный покой, так и абсолютное движение. Решительным защитником этой точки зрения был Ньютон,— это было связано со всей его системой механики, с системой мира. В самом деле, закон инерции гласит, что материальная точка, не подверженная действию никакой силы, совершает равномерное прямолинейное движение. По отношению к какой среде происходит это прямолинейное равномерное движение? По отношению к какой среде действует закон всемирного тяготения? Ньютон считает такой средой пространство, в котором мы живем; по отношению к пространству происходит абсолютное движение, законы которого им установлены; по отношению к пространству действует закон всемирного тяготения. Но в пространство, лишенное материального субстрата, нельзя конкретно вложить осей координат, т. е. установить их таким образом, чтобы по отношению к ним было возможно производить измерения, ориентировать положение материального тела.

Поиски особенной среды, по отношению к которой действует классическая механика, ни к каким результатам не привели: ни эфир, материально заполняющий пространство, ни сфера неподвижных звезд, ни одна из тех средин, которым эту роль пытались приписать, не удовлетворяют полностью тем требованиям, которые механика предъявляла к абсолютной среде референции, к среде инерции. Оставалось признать, что такой среды не существует, что механика должна быть построена так, чтобы она ни в какой исключительной среде не нуждалась; и с такой установкой должна быть сообразована теория всех физических явлений. На этот путь стал Альберт Эйнштейн. К этому требованию механики он, однако, присоединил еще другое, чисто физическое, которое диктовалось результатами измерений, относящихся к скорости распространения света. Известные опыты Майкельсона и Морлея, повторенные и продолженные другими экспериментаторами, установили, что скорость распространения света в пустом пространстве остается одной и той же для всех наблюдателей, независимо от того, какое движение они совершают друг относительно друга и относительно источника света. Коснемся этого вопроса несколько подробное. Представим себе две среды — I и II, совершающие одна относительно другой равномерное движение: в ту и другую среду проникают лучи света, исходящего из одного источника; наблюдатели, один из которых находится в среде I, другой в среде II, измеряют скорость распространения этого светового излучения, каждый в своей среде. Упомянутые выше измерения дали один и тот же результат, оба наблюдателя получают одно и то же значение скорости света. Если рассматривать распространение света как движение несущейся частицы, то этот факт не согласуется с основами классической механики. Совершенно ясно, что в простейшем случае, когда среда, в которой происходит распространение света, движется относительно его источника, скорость света должна оказаться больше, если наблюдатель движется навстречу источнику, и меньше при движении в противоположную сторону. Кинематика, которую строил Эйнштейн, должна была учитывать этот факт, должна была быть согласована с результатами опытов, устанавливающих постоянство скорости распространения света. Если бы наблюдатель, переходя в некоторый момент из одной среды в другую, сохранял то же измерение пространства и времени, т. е. измерение отрезков и промежутков времени давало бы при этом те же результаты, то результаты Майкельсона и Морлея были бы невозможны; устанавливаемый ими факт находился бы в противоречии с классической геометрией и со связанной с ним кинематикой. Теория, которую Эйнштейн построил, чтобы это противоречие преодолеть, чтобы его устранить, исходит из того, что с переходом наблюдателя из среды I в среду II происходит изменение в измерении длины и времени. Несколько подробнее: если наблюдатель, находящийся в среде I, в некоторый момент перейдет в среду II, захватив с собой масштаб для измерения длин и часы для измерения времени, то при этом изменится масштаб, и притом различно, в зависимости от того, .в какую сторону он направится (в сторону движения, или перпендикулярно, или наклонно к нему), изменится также и ход часов. Результаты измерений, производимых в одной и другой среде, будут различны. Положим, что в некоторый момент Т с точкой А среды I совпадает точка А' среды II) в некоторый момент Т' с точкой В среды I совпадает точка В' среды II. Естественно считать, что отрезок АВ среды I отпечатлелся на отрезке А’В' среды II. Между тем результаты измерения отрезков АВ в среде I и А'В' в среде II будут различны, потому что измерение производится различными масштабами; различны будут также результаты измерения промежутка времени II’ в одной и другой среде, потому что измерение производится часами различного хода.

Эти факты, очерченные здесь, так сказать, качественно, получают строго количественное выражение; строится учение о движении, согласованное с инвариантностью скорости света. Все процессы — кинематические, динамические, физические, происходящие в одной среде, отпечатываются, модифицируются в другой среде таким образом, что никакая среда не имеет преимущественного значения. Вся теория изучает только движение одной среды относительно другой; та же модификация механических и физических процессов, которая происходит при переходе из одной среды в другую, зависит от скорости относительного движения этих средин.

Это учение носит название специальной теории относительности. Изложить здесь обстоятельно ее математическое содержание, конечно, невозможно. Общая характеристика этой теории допускает различное выражение; наиболее простое ее выражение может быть сформулировано следующим образом. Каждая из средин, совершающих одна относительно другой равномерное движение, имеет другую геометрию; переход из одной среды в другую влечет за собой модификацию геометрии; одна геометрия отличается от другой значением параметра, которым служит отношение v/c (скорости относительного движения к скорости света). Четко выплывает таким образом идея Лобачевского о различных разновидностях геометрии, которые отличаются одна от другой значением параметра.

Преемственность математических учений заключается не только в том, что одно исчисление непосредственно возникает из другого; вряд ли пе большую роль играет то обстоятельство, что одни идеи возникают из других, получают осуществление по схеме уже сложившихся учений. Вся установка Эйнштейна была бы невозможна, если бы ей не предшествовало создание неевклидовой геометрии. Но и чисто математическая, формально аналитическая сторона дела тесно связана с геометрией Лобачевского.

Оставаясь при прежних двух средах I и II, совершающих равномерное движение одна относительно другой, представим себе материальную точку М, совершающую движение, которое может быть отнесено как к одной, так и к другой среде. Установив в обеих срединах оси ортогональных декартовых координат, обозначим через X, Y, Z компоненты скорости этой точки относительно среды I, через X', Y', Z' ее компоненты относительно среды II. Одна из главных задач теории относительности, можно сказать, одна из главных задач Эйнштейна в ее разрешении, заключалась в том, чтобы установить уравнения, выражающие X', У', Z', через X, Y, Z, выражающие преобразования вектора скорости при переходе от одной системы референций к другой. Эти уравнения (так называемые лоренцовы преобразования) в точности совпадают с уравнениями движения в гиперболическом пространстве. Обнаружена новая интерпретация гиперболической геометрии, теперь в физической теорий.

Один из основных результатов теории относительности заключается в том, что скорость движущегося тела не может превзойти скорости света с. Как можно себе это уяснить? Если представим себе точку, движущуюся со скоростью, превышающей 1/2с относительно среды I, и если при этом среда I движется в том же направлении относительно среды II со скоростью, также превышающей 1/2с, то казалось бы ясным, что скорость той же точки относительно среды II превышает с, между тем она оказывается меньше с. Разгадка заключается в том, что закон сложения скоростей не тот, который имеет место в классической механике. Закон параллелограма скоростей и сил заменяется другим, который приводит к тому, что две скорости, превышающие каждая 1/2с, дают результирующую, меньшую с. Если не самый закон сложения, то факт его модификации, тот факт, что закон сложения скоростей и сил должен быть изменен, должен быть заменен другим, в точности осуществляет то, что предусмотрено Лобачевским в приведенных выше заключительных словах мемуара «О началах геометрии».

Все построение специальной теории относительности получило чрезвычайно удачное выражение в замечательной схеме, установленной Минковским⁴.

Отнесем некоторую среду к ортогональной декартовой системе координат; пусть х, у, z будут координаты произвольной ее точки М, t — показание часов в этой точке в некоторый момент времени. Совокупность всех точек среды в пространстве и во времени составляет четырех мерное множество, о котором мы уже говорили выше; его часто называют «миром Минковского», а каждый его элемент Ху у, z, t — «мировым моментом». Изменение системы координат (в том числе начала отсчета времени и единицы его измерения) ведет к замене координат каждого элемента этого множества х, у, z, t другими значениями х', у', z', t', ведет к отображению этого множества в самом себе или к его преобразованию. Уравнения этого преобразования можно рассматривать также как уравнения движения среды (х', у', z', t') относительно среды (х, у, z, t). Это нужно понимать так. Представим себе среду II, совершающую равномерное движение относительно среды I; пусть по-прежнему х, у, z, t будут координаты произвольной точки М среды I и показание часов в среде I в момент Т пусть х', у', z', t' суть координаты и показание часов в среде II в той ее точке М', которая в этот момент Т совпадает с М. Те же уравнения преобразования координат, которые выражают х', у', z', t' через х, у, z, t, выражают движения среды II относительно среды I. Мы имеем, таким образом, множество и группу преобразований в ней, на базе которой, как выяснено выше, может быть построена геометрия. Это и есть чисто геометрическое выражении специальной теории относительности; и именно это ее выражение было принято как наиболее целесообразное средство построения и развития этой теории. Часто говорят, что специальная теория относительности есть геометрия четырехмерного мира Минковского. Самая эта терминология — четырехмерный мир, четырехмерное пространство — вызвала немало недоумений, нередко сопоставлялась с идеалистическим и просто нелепым представлением о четырехмерном пространстве мистиков, с которым оно совершенно ничего общего не имеет. Мир в пространстве и времени рассматривается как четырехмерное множество,— это совершенно определенная, конкретная математическая идея, столь же далекая от всего мистического, как и классическая геометрия или классическая механика.

Как же получает здесь математическое выражение основное положение специальной теории относительности — постоянство скорости света, превышающей скорость всякого движения? Представим себе два мировых момента (х, у, z, t и x+dx, y+dy, z+dz, t+dt), бесконечно близкие в пространстве и времени. Существует такое постоянное число с, при котором квадратичная форма

c²dt² — dx² — dy²—dz² (53)

сохраняет одно и то же положительное значение при переходе к другой системе таких же координат при равномерном движении многообразия в самом себе. Выражение (53) остается инвариантным относительно той группы преобразований, на базе которой построена геометрия мира Минковского. Это есть линейный элемент (вернее, квадрат его, ds²), определяющий ту же геометрию с точки зрения Римана. Весь тот сложный комплекс идей, к которому привел в своем развитии замысел Лобачевского, получил применение, осуществление здесь, в основной теории современной физики.

Специальная теория относительности получила признание, вошла в обиход современной физики. Другое название, именно «ограниченная теория относительности», лучше характеризует существо вопроса. Это ограниченная теория; она рассматривает только кинематические и кинетические явления, она геометрически описывает мир в его движениях; но она сама по себе не учитывает ни гравитационных, ни электромагнитных явлений, которые являются по отношению к ней внешними агентами, ею по существу не предусмотренными. В 1915 г. Эйнштейн опубликовал новый мемуар, носящий название «Основы общей теории относительности»⁵. Здесь задача поставлена шире — построить геометрию того же четырехмерного мира, которая описывала бы также явления, зависящие от гравитации. Ясно, что теория должна бьпь более общая, она исходит из общего замысла Римана, именно она в качестве квадрата линейного элемента принимает не простое выражение (53), а более сложную форму

от четырех переменных х¹, х², х³, х⁴. Если оставить коэффициенты g_ij совершенно произвольными функциями от х¹, х², х³, х⁴, то мы будем иметь общую геометрию Римана четырехмерного множества. Задача заключается в том, чтобы надлежащим образом ограничить возможный здесь выбор этих функций,— именно, этот выбор нужно сделать так, чтобы построенная на базе элемента (54) риманова геометрия могла действительно служить для такого математического описания мира Минковского. Этот аппарат должен охватывать гравитационные явления в самом себе, он должен описывать физическое состояние мира материальных точек, учитывая в каждый момент все гравитационные явления. Решение этой задачи в такой ее общности все еще остается недоступным; но при ряде упрощенных допущений в ограниченном участке мироздания можно дать этому замыслу такое осуществление, при котором он достигает цели. Формулированное выше требование можно считать выполненным. Геометрия глубже проникла в недра физики; энтузиасты говорили даже о «геометризации физики». Конечно, это преувеличение, обычно сопровождающее увлечение новыми идеями. Но несомненно роль геометрии в области точного знания чрезвычайно возросла; она служит ему более мощными средствами, развившимися на базе идей Лобачевского.

Роль Лобачевского здесь имеет троякий характер.

Во-первых, самый отказ от традиционной механики, от утвердившихся понятий о пространстве и времени был принят сравнительно легко именно благодаря тому, что борьба за новую геометрию,— борьба, с которой был связан отказ от установившихся пространственных представлений, была уже позади. Это был уже пройденный этап, завоеванная позиция. Учения о пространстве и времени в такой мере тесно, неразрывно связаны между собой, что признание новой механики уже представлялось естественным — не всем, конечно, как не все и в настоящее время усвоили идеи неевклидовой геометрии. Как Больцани считал, что «Паигеометрия» есть бред умалишенного, так некоторым физикам казалось, что физики, признающие учение Эйнштейна,— умалишенные. Но все же тех препятствий, которые встретил Лобачевский, Эйнштейн уже на своем пути не имел. И не подлежит никакому сомнению, что перед ним стоял в этом творении облик Лобачевского и сотворенная им, уже признанная неевклидова геометрия.

Во-вторых, самая идея построить общую механику, уравнения и формулы которой зависят от параметра (v/с), которая возвращает нас к классической механике при весьма малых значениях этого параметра, так что классическая механика является простейшим, предельным ее частным случаем,— ведь это явно основная, важнейшая идея Лобачевского, перенесенная из геометрии в более обширную область теоретической физики. В прежние столетия физические гипотезы сменяли друг друга, сметая одна другую. Когда факты становились в противоречие с принятой ранее гипотезой, ее отбрасывали, ее заменяли другой, нередко прямо противоположной ей. В настоящее время такой отказ от установившейся теории во многих разделах науки уже отошел в прошлое. Когда точные исследования обнаруживают, что принятая, установившаяся теория неудовлетворительна, строится более общая теория, математическое выражение которой зависит от одного или нескольких параметров (численных или функциональных). При некоторых предельных значениях параметров обобщенная теория возвращается к прежней, которая, таким образом, оказывается частным, обыкновенно простейшим ее случаем. Эволюция идет уже не в порядке разрушения старых теорий, а в порядке их обобщения, в порядке их развития. Весь этот замысел идет из геометрии, из учения об обосновании геометрии, идет от Лобачевского.

Наконец, неевклидова геометрия в различных формах ее осуществления — то в виде геометрии Лобачевского, то в виде геометрии Римана в узком или широком значении этого слова, непосредственно внедрилась в существо новой механики и теоретической физики, получила здесь конкретное применение; она вышла из области абстракции, она сделалась новым звеном в области современного естествознания. Она проникла и в учение о строении мироздания — в космологию.

Космология как учение о происхождении и современном состоянии мироздания может быть рассматриваема как самая древняя из наук. Относящиеся к ней вопросы обсуждались в глубочайшей древности и если даже приводили первоначально к очень наивным заключениям, то все же всегда занимали умы. В течение тысячелетий естествоиспытатели не оставляли этих вопросов, как математики не оставляли вопроса об основаниях геометрии. И все же нужно сказать, что космология находится еще в начальной стадии своего развития.

Трудности, стоящие на пути ее продвижения, коренятся главным образом в том, что наши сведения о состоянии космоса, о его размерах, о происходящих в нем движениях, действующих в нем силах, о совершающихся в нем явлениях очень ограничены. Более или менее конкретные сведения о мироздании ведут свое начало главным образом от эпохи Гершеля (первая половина XIX в.). И не случайно, считает Цернер, эпоха возникновения новых представлений о вселенной, новых сведений о ее размерах и строении совпадает с той эпохой, когда зарождались идеи неевклидовой геометрии, новые взгляды на геометрию; между той и другой наукой существует тесная связь.

Столетие, в течение которого создалась и развернулась неевклидова геометрия, было также веком, в течение которого глубоко изменились, расширились наши сведения о мироздании. В настоящее время не подлежит сомнению, что наша галактика — скопление звезд, составляющих млечный путь и содержащее в своем составе наше солнце, — есть одно из огромного множества таких же образований. Число галактик, доступных нашему наблюдению, по вычислениям Хёбля (Hubbl) достигает 10⁸. А между тем паши наблюдения ограничены тем, что может быть воспринято нашими телескопами; наибольший из них — стодюймовый рефрактор на горе Mount-Wilson охватывает, правда, огромное расстояние порядка 3-108 световых годов, но все же не проникает дальше. И если скудны наши сведения о том, что происходит в этих пределах, то для нас остается совершенно неизвестным, что имеет место за этими пределами. Но и вопрос о том, как распределена материя в этих пределах, далеко не выяснен. Очень проблематичны данные о массах, содержащихся в каждой галактике, об их радиальных перемещениях, о темной материи, распространенной в мироздании. Есть все основания считать, что количество темного вещества — угасших светил—во много раз превосходит массу светоизлучающей материи. Закон всемирного тяготения Ньютона хорошо согласуется с явлениями, происходящими в солнечной системе. Наблюдения двойных звезд дают основание судить о тяготении в мировом пространстве. Но сведения эти очень ограничены; прежде всего мы не знаем, какова средняя плотность вещества, распространенного в мироздании. Мы не в состоянии на этот вопрос ответить. При его решении мы вынуждены оперировать только очень гадательными цифрами.

Несмотря на этот скудный материал, в течение текущего столетия произведены очень обширные исследования (Эйнштейн, де-Ситтер, Зеелигер, Эддингтон, А. А. Фридман, В. А. Фок) теоретического и экспериментального свойства. Мы не можем здесь излагать сколько-нибудь обстоятельно эти исследования, потому что они выходят далеко за пределы как настоящего сочинения, так и компетентности его автора. Мы ограничимся только немногими указаниями, непосредственно относящимися к роли неевклидовой геометрии в этих исследованиях.

Центральным пунктом в этом отношении является вопрос о значении сроднен плотности вещества в мироздании.

Очень тщательные математические исследования, выполненные Зеелигером, Эйнштейном и другими, приводят этих авторов к весьма своеобразному, чтобы не сказать парадоксальному, заключению. Произвольное распределение средней плотности материи в различных участках вселенной, евклидова геометрия в ней и всеобщее действие закона тяготения Ньютона находятся во взаимном противоречии и не дают возможности построить космологию, основанную на этих принципах. Следовательно, пути космологии ведут к тому, чтобы по крайней мере от одного из этих принципов отказаться. Только в том случае, если средняя плотность вещества в мироздании так ничтожна, что ее можно считать равной нулю, пространство может быть евклидовым. Если же, как это более вероятно, эта плотность не может быть сведена к нулю, то геометрия нашего пространства должна быть неевклидовой. Нужно быть очень осторожным, делая отсюда заключения. Эйнштейн склоняется к тому, что геометрия нашего пространства эллиптическая. Другие, естественно, отказываются признать возможным конечный мир, справедливо недоумевая, какая может быть речь о конечности всего мироздания. Третьи, признавая мир бесконечным, склоняются к мысли, что в нем царит гиперболическая геометрия. Мы не можем входить здесь в более подробное разъяснение этого. Отсылаем читателя к брошюре Эйнштейна, в которой это в некоторой мере выясняется⁶, к работам А. А. Фридмана, а также к книге Д. Ландау и Е. Лифшица.⁷ Существенно то, что идеи Лобачевского проникли даже в учение о строении вселенной: решение вопроса о том, какая геометрия царит в мироздании, составляет основную задачу этой науки.

По схеме, сложившейся на базе идей Лобачевского, в настоящее время выполняется обоснование всякой математической дисциплины, вообще всякой дедуктивной науки. Создание неевклидовой геометрии привело к первому завершению одного из основных вопросов теории познания. Неевклидова геометрия получила применение в анализе и в теории функций. По схеме и замыслу Лобачевского строятся теории современной физики, неевклидова геометрия в широком смысле этого слова составляет базу новых, важнейших ее учений. Неевклидова геометрия намечает пути космологии. Все эти сложные вопросы основного значения еще далеки от окончательного разрешения. Но исследования, поиски этого разрешения идут но пути, общее направление которого предуказано Лобачевским. В этом смысле в ходе развития его творения еще отнюдь не сказано последнее слово.

Но совершенно исключительная смелость мысли, доходящая до дерзновения, неотступная твердость в защите своих идей, непоколебимая вера в свою правоту там, где, казалось, все было против него — и вековые устои науки, п непосредственный здравый смысл,— упорная работа, благодаря которой созданная им геометрическая система была доведена до завершения,— все это черты, знаменующие гения первого ранга.

Русская наука выдвинула не мало ученых, проложивших новые широкие пути в естествознании; с величайшим восхищением и гордостью называем мы имена М. В. Ломоносова, П. Л. Чебышева, Д. И. Менделеева, И. П. Павлова; трудно сказать, кому из них принадлежит более высокое место; но мы полагаем, что Н. И. Лобачевский занимает одно из первых мест в этой славной плеяде русских ученых, одно из самых первых мест во всей истории мировой науки.

Очень трудно очертить все развитие, которое получили идеи Лобачевского, исчерпать все применения, которые ого творчество получило в математике и в естествознании; трудно охватить всю его многогранную административную и общественную деятельность. Это не достигнуто в настоящем сочинении, многое требует еще выяснения, тщательного исследования.

Но и теперь, в наши дни, перед нами яркий образ гениального русского ученого, неутомимого администратора и общественного деятеля, Первенец Казанского университета, он запечатлел свой образ во всем облике Казани, на ее просвещении, на всей жизни университета. Но неизмеримо выше его творческая роль в области научной мысли, его значение в мировой науке. Лобачевский положил начало широкой эволюции геометрии, которая до него казалась совершенно законченной наукой. На основе его идей геометрия разрослась в огромное здание, в котором классическая геометрия Евклида составляет только фундамент, даже только основной камень в его фундаменте. На базе творения Лобачевского в основном получила разрешение задача об обосновании геометрии Евклида, которая в течение многих веков искала новых путей; на базе его идей развертывается обоснование всех математических дисциплин. Идеи Лобачевского играют руководящую роль в важнейших отраслях естествознания. История науки знает мало имен, мало гениев такого широкого и многогранного творчества.

¹T. M. de Tilly. Essai sur les principes fondamentaux de a geometrie et de la mecanique. Mem. Soc. sc. phys. nat. (2), 3, Bordeaux, I-iqo, 1879.
²А. П. Котельников. Проективная теория векторов, 1929. В этом сочинении дана обстоятельная библиография сочинений, посвященных механике неевклидова пространства
³История вопроса, доведенная почти до начала текущего столетия, хорошо изложена в небольшой книге L. Lange. Die geschichtliche Entwickelung des Bewegungsbegriffes. Leipzig, 1886.
⁴Н. Minkowski. Raum und Zeit. Leipzig, 1909. Мемуар много раз переиздавался, переведен на все европейские языки; русский перевод можно найти в сборпике: Лоренц, Эйнштейн, Минковский. Теория относительности. Москва, 1935.
⁵А. Еinstеin. Die Grundlagen tier allgememen Relativitatheorie. Annalen der Physik, 49. Мемуар переиздавался много Раз, его русский перевод можно найги в сборнике, указанном выше.
⁶А. Einstein. Geometrie und Erfaiming. Berlin, 1921.
⁷М. А. Лорис -Меликов. Работы А. А. Фридмана по теории относительности. Д. Ландау и Е. Лифшиц. Теория поля, § 103. Гостехпздат, М. —Л., 1948.

<<Назад Вперёд>>

Просмотров: 5126

загрузка...

Другие книги по данной тематике