XXVIII. Возрождение идей Лобачевского

Даже в надгробной речи Н. Н. Булич с большой осторожностью говорит о научных работах Лобачевского. Совершенно естественно, что при том отношении, которое встретили в России работы Лобачевского, они после его смерти были вовсе забыты. Однако они недолго оставались в забвении. Гаусс был единственным человеком, который при жизни Лобачевского усвоил и полностью оценил его замечательные идеи, но по существу этих идей он не проронил в печати ни одного слова. Авторитетное суждение из его же уст, можно сказать, прозвучало вскоре после его смерти.

Гаусс умер за год до смерти Лобачевского — в 1855 г. В конце 50-х годов известный германский издатель Петерс начал выпускать в свет переписку Гаусса с его другом Шумахером¹. В томе V этой переписки было опубликовано письмо Гаусса к Шумахеру от 28 ноября 1846 г. Следующий отрывок из этого письма относится к Н. И. Лобачевскому:

«Недавно я имел случай вновь просмотреть книжку Лобачевского («Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien», Berlin, 1840; в издательстве Fincke, размером в 4 печатных листа). Она содержит основы той геометрии, которая должна была бы иметь место и была бы строго последовательной, если бы евклидова геометрия не была истинной. Некто Швейкарт² назвал такую геометрию звездной (Astralgeometrie), Лобачевский называет ее воображаемой геометрией. Вы знаете, что я уже 54 года (с 1792 г.) имею то же убеждение (с некоторым позднейшим расширением, на котором не хочу здесь останавливаться); по материалу я таким образом в сочинении Лобачевского не нашел для себя ничего нового; но в его развитии автор следует другому пути, отличному от того, которым я шел сам; оно выполнено Лобачевским с мастерством, в чисто геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на эту книгу, которая наверное доставит Вам совершенно исключи тельное наслаждение».

Мы уже приводили выше письмо Гаусса к И. Ф. Энке от 1 февраля 1841 г., содержащее очень лестный отзыв его о Лобачевском. Наконец, в своем письме к астроному В. Струве от И декабря 1846 г. Гаусс пишет: «В равной степени обязан я самой нижайшей благодарностью за прочие пересылки; за русские вещи Лобачевского вероятно больше всего г-ну Вашему сыну, в присутствии которого в бытность его здесь я, несколько лет тому назад, высказывал свои пожелания; прошу при случае представить меня его любезному воспоминанию. В своих познаниях русского языка я, правда, несколько пошел вспять, поскольку я уже больше года не имел возможности видеть хотя бы одну русскую букву; я надеюсь все же при первой свободной минуте скоро нагнать пропущенное и тогда посвятить мое особое внимание чтению этих интересных сочинений. Маленькое немецкое сочинение Лобачевского я сам уже имел раньше³.

К каждому слову Гаусса в математическом мире прислушивались с большим вниманием. Его восторженные отзывы о работах Лобачевского, естественно, заинтересовали математиков. С произведениями Лобачевского познакомились и прежде всего — с наиболее доступным из его сочинений «Geometrische Untersuchungen»; теперь его идеи были усвоены и вызвали величайший интерес. «Воображаемая геометрия» Лобачевского была вновь призвана к жизни. Пионерами этого возрождения были Гуэль во франции, Бальтцер в Германии и Баттальини в Италии.

Гуэль, профессор университета в Бордо, еще раньше интересовался основаниями геометрии. В 1863 г. он опубликовал мемуар «Опыт рационального изложения оснований элементарной геометрии»⁴. Это одна из многочисленных попыток реорганизации структуры элементарной геометрии; большого значения она не имеет. Теория параллельных линий изложена в этом мемуаре по обычному плану и никаких указаний на неевклидову геометрию еще не содержит. Но после опубликования писем Гаусса Гуэль занялся работами Лобачевского и прежде всего тщательно изучил «Geometrische Untersuchungen» В 1860 г. он перевел это сочинение на французский язык и опубликовал его в «Известиях общества естествоиспытателей г. Бордо», а также в отдельном издании⁵. В предисловии к этому изданию помещено извлечение из письма Гаусса к Шумахеру. В следующем году им была выпущена небольшая брошюра «Опыт критики оснований геометрии»⁶, которая представляет переработку его статьи 1863 г.; здесь уже обстоятельно изложены основные идеи нового учения.

Бальтцер, профессор гимназии в Дрездене, написал руководство «Элементы математики» в двух частях, получившее в Германии большое распространение в качестве учебной книги для среднего образования. В 1867 г. вышло в свет второе издание этого сочинения⁷. Во второй части совершенно изменено изложение главы о параллельных линиях. Здесь изложены работы Лежандра, вкратце выясняется сущность идей Лобачевского и указывается литература. Эта книга, имевшая в Германии большое распространение, очень содействовала возрождению идей Лобачевского.

Наконец, в том же 1867 г. Баттальини, познакомившись с идеями Лобачевского по переводу Гуэля, перевел на итальянский язык «Пангеометрию» и даже дал оригинальный вывод неевклидовой тригонометрии⁸.

Наконец, о Лобачевском заговорили и на родине.

В 1868 г. в III томе не так давно еще возникшего в Москве журнала «Математический сборник» появился перевод «Geometrische Untersuchungen» на русский язык, принадлежавший профессору А. Л. Летникову. Переводу предпослана статья, содержавшая первый в России еще осторожный, но все же благоприятный отзыв о трудах Лобачевского. Эта статья настолько характерна,, что мы считаем необходимым привести ее целиком.

О теории параллельных линий Н. И. Лобачевского

Известно, что стремления разных авторов доказать XI аксиому Евклида, или так называемый евклидов постулат, породили целую литературу quasi-математических исследований, имеющих предметом установить теорию параллельных линий на строго геометрических началах. Большая часть размышлений, представленных авторами, оказалась вполне несостоятельной. Другие ученые, прибегая к посторонним соображениям аналитического свойства, решали вопрос совсем не в том виде, в каком желательно было видеть его решение, и таким образом не достигали главной цели усовершенствования начал евклидовой геометрии.

Хотя, с одной стороны, вопрос о параллельных линиях, вследствие своей простоты и доступности, вызывал часто ученические , труды, зато, с другой, по своему глубоко философскому интересу он привлекал к себе и первостепенных математиков, как, например, Бертрана (из Женевы), Лежандра и В. Я. Буняковского. Труды первых двух геометров имеют теперь больше историческое значение, так как представленные ими соображении держались некоторое время в учебниках, и еще до сих пор можно встретить преподавателей геометрии, дающих так называемую «бертрапову теорему» вместо аксиомы Евклида. Академик Буняковский в одном из своих мемуаров о параллельных линиях⁹ представил ряд замечаний, обнаруживающих недостаточность доказательств, данных Бертраном и Лежандром. После того в нескольких мемуарах и в особом замечательном сочинении о параллельных линиях¹⁰ тот же геометр изложил подробно и проследил критически постепенное развитие и современное состояние этой основной теории геометрии. Наконец, о названном выше сочинении и в друхих статьях г. Буняковский предложил и собственные исследования по этому важному и вместе любопытному вопросу.

В настоящей статье мы хотели бы обратить внимание наших читателей на весьма замечательные, но мало известные труды о том же предмете нашего соотечественника, бывшего профессора Казанского университета Я. И. Лобачевского. Этот ученый, математические исследования которого начинают цениться по достоинству в Западной Европе, один из всех геометров, писавших о теории параллельных линий, становится при развитии ее начал на в высшей степени оригинальную точку зрения. Из некоторых мест переписки Гаусса с Шумахером, недавно изданной г. Петерсом, видно, что знаменитый германский геометр еще с 1792 г., в течение слишком пятидесяти лет, возвращался от времени до времени к размышлениям о теории параллельных линий и, что еще замечательнее, Гаусс относился к этому вопросу именно с той самой точки зрения, на которой остановился Лобачевский.

Судьба исследований профессора Лобачевского довольно поучительна для нас русских. Его первый опыт «О началах геометрии» появился еще в 1829 году в «Казанском Вестнике»; потом в «Ученых записках Казанского университета», в журнале Крелля автор печатал целый ряд мемуаров о том же предмете, которые, по-видимому, привлекали мало внимания его соотечественников. Даже теперь, когда труды Н. И. Лобачевского получили санкцию полного одобрения со стороны одного из величайших геометров нашего времени и когда взгляды русского ученого начинают проникать в лучшие немецкие учебники¹¹, у нас, вероятно, найдется немного преподавателей геометрии, которые знакомы с сущностью исследований казанского профессора.

В 1840 г. Лобачевский напечатал брошюру под заглавием «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelliniem. Брошюра эта привлекла внимание Гаусса, из писем которого к Шумахеру от 1831 г., приводимых ниже, можно видеть, что великий геометр в то время уже более сорока лет имел истинные основания нового учения, которое он называл неевклидовой геометрией и которое в сущности совпадало с теориею Лобачевского, названною этим ученым «воображаемою геометрией». Когда Гаусс познакомился с трудами Лобачевского, то он поступил относительно его так же, как прежде относительно Абеля и Якоби, которые достигли в теории эллиптических функций результатов, ему уже известных, но им не изданных: он отказался от принадлежности ему нового учения и ограничился тем, что выразил полное одобрение труду Лобачевского, находя только название «воображаемой геометрии» не довольно удачно выбранным.

Исследования Лобачевского о параллельных линиях отличаются от разысканий других ученых прежде всего своею целью. Автор вовсе не имеет в виду доказать a priori XI аксиому Евклида; совершенно напротив, он начинает с допущения возможности встречи пернендп куляра и наклонной¹² или — что одно и то же — предполагает, что через данную точку всегда можно провести бесчисленное множество прямых, лежащих в одной плоскости с данною прямою и ее не встречающих. Таким образом, Лобачевский доказывает, что не существует никакой причины утверждать a priori, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть менее двух прямых углов, и даже утверждает, что, кроме астрономических наблюдений, мы не имеем другого средства удостовериться в справедливости вычислений обыкновенной геометрии. Такие смелые и оригинальные мысли, развиваемые строго и последовательно, в чисто геометрическом духе, очевидно имеют право на внимание. Ученый переводчик брошюры Лобачевского г. Houel полагает, что, не преувеличивая философского значения этого исследования, можно сказать, что оно бросает совершенно новый свет на основные начала геометрии и открывает новый, еще не разработанный путь розысканиям, которые могут привести к неожиданным открытиям. Во всяком случае труды Лобачевского должны оказать влияние на усовершенствование методов преподавания и уничтожить несбыточную надежду доказать аксиому Евклида a priori, надежду однородную с тою, которую питают изобретатели вечного движения, квадратуры круга и проч. Мы думаем, что читатели «Математического сборника», и в особенности гг. преподаватели геометрии, прочтут не без интереса предлагаемый здесь перевод брошюры Лобачевского.

Малоизвестность этого труда, печатавшегося по-русски в весьма растянутом виде, со многими посторонними развитиями, в издании, всегда имевшем ограниченный круг читателей, а теперь сделавшемся почти редкостью, оправдывает появление перевода брошюры, в которой автор излагает вкратце сущность своих изысканий, не обративших, по-видимому, большого внимания нашей ученой публики во время их появления. Притом же брошюра Лобачевского в настоящее время читается на Западе: недавно она переведена на французский и итальянский языки.

Мы помещаем сначала извлечение из любопытной переписки Гаусса с Шумахером о параллельных линиях, которое определяет отношение исследований Гаусса к теории Лобачевского. Вслед за письмами мы печатаем перевод упомянутого выше сочинения нашего ученого геометра.

Итак, перелом совершился. Идеи Лобачевского уже не «нелепые фантазии», как их называл анонимный критик «Сына отечества»; о них уже не повторялись слова Остроградского, что «они вряд ли заслуживают внимания»; это теперь «весьма замечательные, но мало известные труды нашего соотечественника». И все же, вчитываясь в этот новый отзыв, нельзя не видеть той осторожности,- с которой высказаны новые суждения о трудах Лобачевского. Прежде всего они сопоставляются с исследованиями В. Я. Буняковского. Нужно сказать, что работы Буняковского по теории параллельных линий были очень слабы; он все еще не потерял надежды доказать постулат; даже доказательство Бертрана не встречает с его стороны категорических возражений; работ Лобачевского он совершенно не знает, хотя писал уже в 1853 г. и позже. Далее, Летников предназначает свою статью исключительно для «преподавателей» математики. Кто же из русских ученых математиков того времени был с этими исследованиями знаком? Мог ли А. Л. Летников рассчитывать, что преподаватели математики того времени будут в состоянии усвоить идеи Лобачевского и его геометрическую систему? И та же недооценка, та же мысль, что читателями публикуемого сочинения Лобачевского должны быть не ученые математики, для которых, главным образом, предназначался журнал «Математический сборник», а преподаватели математики, которым работы Лобачевского уже о всяком случае не могли быть доступны, продолжается и Дальте. Конечно, об усовершенствовании преподавания математики на основе этих работ можно было говорить разве только в том смысле, что в учебниках не следует помещать неправильных доказательств постулата о параллельных линиях (в «Руководстве по геометрии» Ф. И. Буссе, имевшем тогда большое распространение в гимназиях, помещалось доказательство типа Бертрана). Наконец, даже подписать статью полным своим именем Летников не решился. Между тем, просматривая все статьи в первых томах «Математического сборника», мы не нашли ни одной, которая не была бы подписана полной фамилией автора¹³.

Новые настроения во взглядах на работы Лобачевского нашли свой отклик и в Казани. 11 февраля 1867 г. декан физико-математического факультета Казанского университета вошел в совет университета с представлением следующего содержания:

«Сочинения бывшего профессора здешнего университета Н. И. Лобачевского в последнее время обратили на себя внимание европейских ученых, особенно те, которые относятся к области геометрических исследований. Причиною столь позднего знакомства европейских ученых , с трудами покойного знаменитого нашего сочлена было то обстоятельство, что большая часть из них была помещена в «Ученых записках», которые, как известно совету, печатались в малом числе экземпляров на удовлетворение потребностей округа и членов университета. У книгопродавцев ни петербургских, ни московских они не находились.

Неизвестно, каким путем успели проскользнуть за границу некоторые мемуары Лобачевского¹⁴, но дело в том, что перевод одного из них, сделанный французским геометром Гуэлем, дал право сказать этому последнему: «travaux qui к peine tires de l’oubli, ont dеja attirе l’attention d’еminents geomelres»¹⁵. II действительно, кроме, требований из-за границы, полученных некоторыми членами факультета о присылке сочинения Лобачевского, такие же требования получил и библиотекарь университета. Один экземпляр, и то неполный, едва удалось собрать членам факультета.

Физико-математический факультет, принимая во внимание то, что сочинения Лобачевского составляют библиографическую редкость и что они по своему значению и важности должны быть в России, если не более, то по крайней мере не менее известны, чем за границей, имеет честь ходатайствовать перед советом о новом изданий, преимущественно же об издании всех мемуаров, касающихся теории параллельных линий.

Рассчитывая приблизительно около 50 печатных листов, на издание потребуется до 600 рублей».

Так, около 80 лет тому назад, возник вопрос об издании собрания сочинений Лобачевского. Совет постановил выпустить в свет полное собрание геометрических сочинений Лобачевского. Но хотя слава Лобачевского росла с каждым годом, хотя его работы приобретали все большее признание и значение, прошло шестнадцать лет, пока это постановление было осуществлено: первый том «Полного собрания сочинений по геометрии» Н. И. Лобачевского вышел в свет в 1883 г.

Итак, через 10—12 лет после смерти Лобачевского, к семидесятилетию со дня его рождения, его имя уже пользовалось известностью в математическом мире, уже было сделано постановление об издании полного собрания его геометрических сочинений. Жестока была судьба, не давшая великому геометру прожить еще несколько лет, чтобы дождаться первого признания его замечательных идей.

¹Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher. I—VI. Altona. 1860—1865.
²Прежде в Марбурге, теперь профессор юриспруденции в Кенигсберге (примечание Гаусса).
³Приведено по книге Л. Б. Модзалевского «Лобачевский», стр. 520.
⁴J. Ноuеl. Essai d’une exposition rationelle des priticipes fond ament aux de la geom6trie 616mentaire. Archiv der Mathematik und Physik. XL, 1863.
⁵N. Lobatchewsky. fitudes geometriques sur la th6orie paralleles. Memoires de la societe des sciences physiques et natures к Bordeau. IV, 1866.
⁶J. Hoгel. Essai critique sur les principes fondamentaux de geomеtrie, Paris, 1867.
⁷Д. Baltzer. Die Elemente der Mathematik. 2-te verbes-serte Ausg., Dresden, 1867.
⁸G. Battaglini. Sulla geometria immagionaria di Lo batscliewsky, Giorn. Mat., 5.
⁹Considerations sur les demonstrations principles de la theorie des paralleles, 1850. Memoires de l‘Acadеmie des Sciences de P6tersbourg, VI serie, Т. IV.
¹⁰В. Буняковский. Параллельные линии.СПб., 1853.
¹¹Baltzer R., Die Elemente der Mathematik. Dresden, 2 Aufl., 1867.
¹²Автор, очевидно, выразил мысль Лобачевского неправильно: его допущение ведь заключалось в том, что перпендикуляр и наклонная к секущей могут не встречаться.
¹³Что статья принадлежит именно A. Л. Летникову, не подлежит сомнению; в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона в статье, посвященной Летникову, она указана в списке его сочинений.
¹⁴Поразительная неосведомленность: ведь «Geometrische Un-tersuchungen» были изданы в Германии.
¹⁵«Труды, едва извлечение из забвения, уже привлекли внимание выдающихся геометров».

<<Назад Вперёд>>

Просмотров: 3638

загрузка...

Другие книги по данной тематике