XXIII. Лобачевский как профессор университета

При обзоре жизни и деятельности Лобачевского мы сосредоточили внимание главным образом на его научном творчестве, создавшем мировую славу его имени, и на организационной его работе, имевшей столь большое значение для Казанского университета. Попутно были сообщены краткие сведения о его преподавании в университете и вне его. Здесь мы остановимся подробнее на этой стороне его деятельности, на роли Лобачевского как профессора университета. Материалами для этого служат, в первую очередь, обозрения (по старой терминологии «каталоги») преподавания; мы располагаем ими за все годы, в течение которых Лобачевский преподавал в Казанском университете. Далее, как Магницкий, так после него и Мусин-Пушкин требовали, чтобы профессора представляли не только программы, но и конспекты своих курсов¹. Сохранилось несколько таких конспектов, представленных Лобачевским. Некоторые из них очень обстоятельны (например, за 1824—1826 уч. годы) и излагают не только планы преподавания, но и взгляды Лобачевского на содержание и значение соответствующих дисциплин как предметов преподавания². Об этом дают представление и его учебники «Геометрия», «Алгебра», предисловия и варианты последней книги. Некоторые высказывания Лобачевского по этим же вопросам содержатся в других его сочинениях. Наконец, о преподавании Лобачевского имеются сведения в воспоминаниях некоторых его учеников и товарищей. Сохранились даже обстоятельные записки начальных курсов Лобачевского по геометрии, арифметике и алгебре его слушателя студента Темникова, относящиеся, правда, еще к первому периоду его преподавательской деятельности (к 1816—1817 уч. году)³.

Обозревая эти материалы, удивляешься прежде всего огромному диапазону преподавания Лобачевского. В течение почти 35 лет своего преподавания в университете Лобачевский в разное время читал следующие дисциплины: арифметику и элементарную геометрию, алгебру элементарную и высшую, прямолинейную и сферическую тригонометрию, аналитическую и начертательную геометрию, дифференциальное, интегральное и вариационное исчисление, вычисление приращений (т. е. учение о конечных разностях), исчисление вероятностей, теорию чисел, физику опытную и математическую (в частности, математическое учение об электричестве, свете и теплопроводности), различные отделы механики (статику, общую динамику, динамику твердого тела, в частности, вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, гидростатику и гидравлику), астрономию теоретическую и физическую. Среди этих курсов были, конечно, факультативные; но сверх того особо выделены, как курсы для желающих, статьи из опытной физики, которые поддаются математической обработке, геодезия и топография с учением о фигуре земли, уравнения в частных производных первого и второго порядка.

В течение XIX столетия у нас работали и преподавали многие весьма выдающиеся математики; но вряд ли среди них можно найти еще одного, научные и преподавательские интересы которого так широко охватывали бы множество различных дисциплин. Рассматривая же самые программы, составленные Лобачевским, нельзя не видеть, что они обнимали все важнейшие отделы точного знания, что эти отделы были им глубоко изучены и продуманы, преподавались студентам в обстоятельном и систематическом изложении.

Первая треть XIX столетия, на которую, главным образом, приходилось преподавание Лобачевского в Казанском университете, была знаменательной эпохой в истории математики. Это была эпоха, когда сложились или незадолго перед тем складывались важнейшие теории современной математики. Это была эпоха, когда анализ, развернутый Эйлером и его школой, в трудах Гаусса и Коши складывался в гораздо более точную и систематически построенную науку,— когда Лагранж оформил свое учение о функциях, Монж создал начертательную и далеко продвинул дифференциальную геометрию, — Гаусс и Лежандр заложили систематические начала теории чисел,—Лаплас написал свои книги по теории вероятностей. Это было время, когда Лаграцж и Лаплас создали систему аналитической механики, общей и небесной, по общей схеме которых основы этой науки развертываются по настоящее время,— когда Фурье, Гаусс, Френель и Пуассон заложили фундамент математической физики,— когда Лаплас, Лежандр и Деламбер уже пытались точно установить форму земного геоида.

В ту пору, когда Лобачевский вел преподавание в Казанском университете, каждый профессор, объявляя тот пли иной курс, обязан был указать, по каким сочинениям он этот курс читает, какие руководства по этому курсу он рекомендует для изучения студентам. И в многочисленных указаниях этого рода, в проспектах Лобачевского имеются, строго говоря, только две книги собственно учебного характера: курс тригонометрии А. Каньоли и руководство Лакруа. Обе книги были уже указаны выше (стр. 42, 43). Это несомненно хорошие, действительно учебные книги. Все остальные сочинения, которые Лобачевский указывает, это подлинные мемуары или оригинальные сочинения, в которых соответствующие дисциплины закладывались, строились, оформлялись классиками науки.

Предыдущий краткий обзор отнюдь не претендует на то, чтобы сколько-нибудь охватить все, даже основное математическое творчество эпохи. Мы привели только те имена и сочинения, на которые ссылается Лобачевский в своих представлениях факультету. Он пишет, что аналитическую (в широком смысле слова) и начертательную геометрию будет читать по Монжу, теорию чисел по Гауссу, аналитическую механику по Лагранжу и Лапласу, математическую физику по Фурье, Френелю и Пуассон}^, исчисление вероятностей по Лапласу и т. д.; все приведенные выше имена заимствованы из его конспектов. Более того, в этих конспектах он указывает характер, направление, достоинства этих сочинений; иногда высказывает те или иные возражения.

Все это свидетельствует, во-первых, о том, что Лобачевский напряженно следил за современной ему литературой в различных областях математической мысли. Широкий Диапазон его преподавания вполне соответствует тому, что он напряженно и неустанно следил за научной литературой своего времени в ее оригинальных классических произведениях.Он не замыкался в какую-либо узкую область даже тогда, когда его мысли были поглощены собственными своеобразными и глубокими идеями. Трудно назвать у нас математика, профессорская деятельность которого имела бы такой широкий охват. Вместе с тем студенты получали образование, соответствовавшее высокому уровню науки, ее современному состоянию.

Были ли, однако, его лекции доступны аудитории, овладевали ли ими слушатели? Мы уже приводили соображения Никольского относительно преподавания Лобачевского и Симонова: «По быстрым их способностям хорошими педагогами им трудно быть. Они с отличною пользою только могут наставлять хороших кандидатов и магистров и приготовлять их в адъюнкты». Трудности, которые приходится преодолевать при чтении печатных трудов Лобачевского, как будто подтверждают это мнение. Его работы обычно изложены слишком сжато, неясно; недаром же Остроградский высказывался об этом в такой резкой форме. Однако ученики Лобачевского в своих воспоминаниях говорят об этом совершенно иначе, подчеркивая, что его лекции резко отличались от той манеры излагать свои мысли, которая свойственна его мемуарам. Вот что пишет об этом в своих воспоминаниях наиболее выдающийся ученик Лобачевского А. Ф. Попов, сменивший его на кафедре в Казанском университете:

«В аудитории профессор Лобачевский умел быть глубокомысленным или увлекательным, смотря по предмету изложения. Вообще разговорный слог его не походил на письменный. Между тем как в сочинениях своих он отличался слогом сжатым и не всегда ясным, в аудитории он заботился об изложении со всей ясностью, решая сначала частные задачи по способу синтетическому, а потом доказывая общие предложения по способу аналитическому; он мало заботился о механизме счета, но всего более о точности понятия. Он чертил на доске не скоро, старательно, формулы писал красиво, дабы воображение слушателей воспроизводило с удовольствием предметы преподавания; любил более сам учить, нежели излагать по авторам, предоставляя слушателям самим познакомиться с подробностями ученой литературы. Его публичные лекции физики привлекли в аудиторию многочисленную публику, а чтения для избранной аудитории, в которых Лобачевский развивал свои «Новые начала геометрии», должно назвать по справедливости глубокомысленными».

То же говорит о лекциях Лобачевского в своих воспоминаниях и другой слушатель его П. П. Перцов, окончивший курс в 1846 г.: «Читал Лобачевский лекции свои не торопясь, обстоятельно, и очень толково и ясно. Предмет весьма трудный, но он усваивался нами легко, вследствие замечательно хорошего изложения. Лекции Николая Ивановича легко было и записывать, и из моих подробных записей получилось очень хорошее руководство к экзаменам. В своих чтениях Николай Иванович развивал всегда подробно каждую формулу, в противоположность своим печатным трудам, где он часто просто говорит: «от такой-то формулы переходим к такой-то», а как происходит этот переход — не разъясняет, чем сильно затрудняется усвоение вопроса. В устных же лекциях, для студентов, он никогда себе этого не дозволял и разъяснял всякое положение так, что оно становилось понятным даже для мало подготовленных».

Очевидно, краткое изложение собственных идей в своих мемуарах Лобачевский предпочитал потому, что считал нужным свои изыскания, предназначенные для специалистов, излагать так, чтобы они требовали от читателя глубокого размышления. Этого взгляда и в настоящее время, конечно не без основания, придерживаются многие авторы; может быть, Лобачевский шел в этом направлении слишком далеко; идеи же, которые он опубликовал, были слишком своеобразны, слишком новы, очень мало доступны. Излагал ли когда-либо Лобачевский избранным студентам свою «воображаемую геометрию»? Об этом мы точных сведений не имеем. В приведенном отрывке из воспоминаний Попова сказано, что он «для избранной аудитории развивал свои «Новые начала геометрии»; но это сочинение, как мы видели, состоит из различных частей и большая первая часть, которую, может быть. Лобачевским и развивал, воображаемой геометрии не касается. Сомнения возникают потому, что нельзя себе представить, чтобы Лобачевский, лично изложив начала своей геометрии, не мог убедить в их правильности избранных слушателей, в том числе того же Попова. Что даже крупные математики не могли понять того, что Лобачевский писал в своих мемуарах, это можно себе уяснить; но что он личным разъяснением не был в состоянии убедить таких людей, как Брашман, Попов и Больцани, — это в настоящее время понять трудно.

Обращаясь теперь к обзору того, как излагал Лобачевский отдельные дисциплины, как он их понимал, что ценил, как смотрел на спорные вопросы,— нужно сказать, что сделать такой обзор нелегко. Материалы, к этому относящиеся, довольно обширны и не всегда согласованы между собой. Излагая их своими словами, легко их исказить. Нам представляется, что их следует выпустить в свет отдельным изданием и подвергнуть тщательному анализу в научно-исследовательском порядке⁴. Здесь мы вынуждены ограничиться кратким очерком, предоставляя слово самому Лобачевскому там, где собственное изложение его мыслей является особенно трудным и ответственным, — ограничиваясь кратким изложением, где это возможно.

Конспекты Лобачевского по преподаванию чистой математики на 1824—1825 г. и на 1825—1826 г. начинаются каждый вступительной статьей, озаглавленной «Способ преподавания вообще». В обоих конспектах содержатся почти одни и те же мысли; во втором конспекте они изложены несколько более сжато, более концентрированно.

Главный вопрос, который занимает здесь автора, заключается в том, какому из двух способов разработки математических дисциплин — аналитическому или синтетическому - должно быть отдано предпочтение в преподавании.

Лобачевский приходит к заключению, что при всех преимуществах анализа синтетический метод ни в каком случае не должен быть вовсе исключен. Каждый метод имеет свои достоинства и недостатки. Дело педагога использовать достоинства каждого и избежать его недостатков, а для этого нужно хорошо продумать, где и в каком объеме место каждому из этих методов. Мы приводим целиком вводную статью второго конспекта, содержащую ответы на эти вопросы; мысли эти отнюдь но утратили интереса п в настоящее время.

«Лучший способ преподавания математики без сомнения аналитической, которой и принят в Казанском университете, исключая тех частей, где он не может иметь места, каковы, например, основания геометрии. Другому способу и нельзя следовать в Университете,потому что здесь читается полный курс математики; а синтез, как первое изобретение, уступившее после место анализу по его превосходству, остался в одних только началах. Аналитический способ состоит в том, чтоб отношения между величинами выражать уравнениями. Его выгоды суть: одинаковый приступ к разрешению всякого роду вопросов, общность (generalite); далее, и самая большая выгода, что уравнения, которые выражают собою зависимость величин друг от друга, заключают в себе все нужное к разрешению вопроса, освобождают от рассмотрения качеств сих величин и подчиняют ход задачи действиям алгебры, всегда одинаковым, прямым, кратким и которые ведут к разрешениям полным. Невыгода анализа—трудность понимать, происходящая от общности и отвлеченности; наконец, еще та, что с помощью его находятся величины в числах, а следовательно, заключения его, когда под сими величинами разумеются вещи, время или силы природы, должны быть истолкованы, то есть, из чисел снова стать действительными величинами, что представляет иногда большие затруднения и бывает причиной погрешностей. Примером последнего может служить спор Даламберта с Эйлером и Лагранжем о непрерывности кривизны звучащих струн. Синтез, далеко не имея выгод анализа, не имеет также и его невыгод: он ясен, ощутителен и гораздо убедительнее для начинающих. Несмотря на то даже и в началах надобно удержать анализ как для сохранения одинаковости преподавания, так и для того, чтобы самые начала математики служили приготовлением к ее высшим частям. А чтобы здесь соединить выгоды анализа с выгодами синтеза, для сего надобно через несколько частных случаев переходить к общим и преподавание обогащать примерами. Это предписано в правило здешней Гимназии.

Между тем находятся части математики, где синтез необходим как единственный способ, которой должен вести науку до известной границы и не прежде как за сею границей она может быть подчинена совершенно анализу. Такова геометрия и механика. Систематическое преподавание требует, чтоб такие части математики были отделены явственною чертою, дабы показать, что отличительного заключает в себе каждая и где начинаются ее источники. С другой стороны, начала геометрии делались бы слишком кратки, отделены большим промежутком от анализа, где в первой раз встретилось бы их употребление и при том в чрезвычайной обширности. Итак, разделение курса чистой математики на два нахожу я полезным и естественным; один приуготовительной, которой читается в гимназиях, другой полной в университете. Первой заключает в себе основания алгебры, синтез геометрии, приложение к геометрии анализа, куда входят в состав различные частные случаи и примеры, встречающиеся в обыкновенной жизни, чтоб достигнута была, таким образом, двойная польза. Курс в университете идет снова от начал математики, но рассматриваемых из другой точки зрения; обнимает их в обширности, отделяет синтез от анализа и систематически излагает действия последнего в их естественном порядке и по мере, как они становятся искусственнее и более общи. Простота и легкость синтеза заслуживает иногда быть упомянута. Интегрирование уравнения, где содержание квадратов дифференциалов двух переменяющихся дается равным содержанию их синусов, находится весьма легко из рассмотрения сферического треугольника; напротив требовалось остроумие Эйлера и Лагранжа, чтоб решение почерпнуть из одного анализа. В синтезе всегда будут скрываться богатые источники для математиков, но открывать и пользоваться ими предоставлено одним только Гениям. Преподавание не должно черпать из их источников.

Сказанное здесь, думаю, достаточно будет, чтоб судить о духе и порядке моего преподавания. Что ж касается до тех понятии, которые должны составлять основания частей чистой математики, об этом я оставляю говорить в статье геометрии».

Изложив эти соображения о методах преподавания, Лобачевский переходит к самому плану преподавания. Трудность заключалась в том, что курс на факультете был трехлетний и выполнить учебную программу по всем важнейшим предметам было очень трудно. Вряд ли временный план, который вынужден был предложить Лобачевский, мог дать выход из этого положения. Оно было существенно изменено уставом 1835 г.; останавливаться на этом нет надобности.

Затем Лобачевский переходит к обзору преподавания по отдельным предметам. Его взгляды на начала геометрии и их преподавание были уже подробно изложены выше при обзоре его сочинений: учебника «Геометрия» и «Новые начала геометрии»; при этом мы уже пользовались выдержками из этих же конспектов и не будем здесь к этому возвращаться. Остановимся только на некоторых мыслях общего, можно сказать руководящего значения, которые содержатся в статье конспекта, посвященной преподаванию геометрии. Впрочем, и об этом нам уже приходилось говорить выше. Но мысли эти и их сопоставление настолько важны, что на них нельзя вновь не остановиться. «Вся математика, — говорит Лобачевский, — есть наука об измерении; все то, что существует в природе, подчинено необходимому условию быть измеряемому: посему различие между величинами должно относиться к различному роду измерений их и к числам, которые их представляют; все прочие понятия всегда будут темны и недостаточны».

Эта «темность» заключается главным образом в понятиях о содержании [отношении] линий, о длине кривой и величине кривой поверхности. Для устранения этой «темности» нужно следовать двум правилам: «1-е — математика имеет целью действительное измерение вещей, а посему и не должна идти далее, нежели сколько того требуют чувства; 2-е—понятия, которые имеют место в отношении только к некоторым предметам, могут быть произвольно распространяемы и на прочие, лишь бы они имели в виду средства, которые употребляются в измерении на самом деле. Например величина кривой линии в отношении к прямой не может быть понимаема так, как мы понимаем величину прямых линий в отношении друг к другу; но что мешает согласно с практикою разуметь под длиною кривой линии сумму тех прямых, которые будут поставлены вместо частей кривой линии с тем условием, чтоб почитать сию сумму за длину кривой линии тем строже определенную, чем части кривой будут взяты менее? Такое измерение не могло бы ни к чему служить как в теории, так и в практике, есть либо с уменьшением частей кривой длина ее не подходила постепенно ближе и ближе к известной границе, которая и должна быть почтена за истинную длину; не потому однакож, чтобы кривая линия допускала понятие о длине ее, но потому, что действительное измерение должно как можно более приближаться к сей границе». Это совершенно точное определение длины кривой. Последнее замечание нужно, по видимому, понимать в том смысле, что на длину кривой следует смотреть не как на понятие, которое присуще кривой как таковой, а как на такое, которое мы устанавливаем в метрических целях, которое — хочется прибавить— применимо постольку, поскольку существует граница, которой она определяется, и поскольку она не зависит от того, каким образом стороны вписанной ломаной неизменно убывают. Этих добавочных слов, которые сделали бы определение длины кривой совершенно безукоризненным, как оно устанавливается в настоящее время, у Лобачевского нет. Отсутствие этой оговорки вообще характерно для эпохи, но, может быть, в некоторой мере зависит и от взгляда Лобачевского на ту степень точности, с которой геометрия должна излагаться в преподавании. Точка зрения, которую мы выше уже неоднократно отмечали, проходит у Лобачевского красной нитью: при изложении начал геометрии не должно быть места «химерической», т е. кажущейся точности, которая проводится неясными запутанными рассуждениями. Вот что говорит об этом Лобачевский в своем конспекте преподавания математики 1824 г.: «Всякой знает, какую ясность доставляет рассмотрение элементов в геометрии и механике, как просто и ощутительно представляется всякая задача в ее началах; пренебречь этой простотой в преподавании, значило бы лишить слушателей большого пособия, гоняясь за воображаемою какою-то строгостью и без нужды стараясь освободить себя от геометрического воззрения. Можно прибавить еще и то, что есть ли допустить элементы в природе, то непонятная несоизмеримость исчезает, невыразимые числа будут искусственные числа, существующие только в знаках аналитики, а не в природе. Вот почему я всегда почитаю бесполезным толковать о несоизмеримости, учение сухое, совершенно лишнее для аналитики и не нужное в применениях ее, есть ли следовать тому способу, которой я избрал для моего преподавания».

Что в преподавании геометрии, особенно на первых порах, даже в университете, не следует избегать некоторой интуиции — это бесспорно. Принципиальный же отказ от выдержанной точности, при изложении основ геометрии у Лобачевского (независимо от доступности преподавания), в этом случае вызывался тем, что не «химерической», а действительно точной системы построения начал геометрии в ту пору еще не существовало. Претензии на совершенно точное ее изложение, геометрия «оb omni noevo vindicate» (освобожденная от всякого пятнышка) вызывала вполне оправданные сомнения. Только развитие идей Лобачевского проложило те пути, которые привели к действительно строго логической системе геометрии. В ту же эпоху, когда Лобачевский преподавал в Казанском университете, такой системы еще не было, и он не был склонен вводить своих слушателей в заблуждение⁵. Он имел свои взгляды на общие начала геометрии, о которых он говорит во всех своих сочинениях по геометрии; повидимому, он излагал их не только избранной аудитории.

Однако компромиссной точке зрения в вопросе о точности изложения в геометрии Лобачевский противополагает другую установку в преподавании анализа. Вот как он это выражает: «Строгость этого [дифференциального] исчисления сама по себе остается везде неприкосновенной; по не таков способ применения его к геометрии и механике, и в этом не должно уже обвинять вычисление, а только наши понятия о тех коликих в геометрии и механике, которых измерение не можем ни представить в уме нашем, ни произвести на самом деле [иначе], как чрез приближение. Вот почему аналитика избрала границы всех сих приближений за истинные величины, с тем, чтобы они согласовались со всяким действительным измерением и тем более, чем измерение точнее; а всего более с самою природой, невообразимо уточненной в своих началах». Вряд ли нужно подчеркивать, что здесь заложена глубокая мысль принципиального значения. Математический анализ есть абстрактная наука, так, однако, построенная, что ее выводы неограниченно приближаются к конкретным фактам и тем ближе, чем точнее эти факты поддаются измерению.

Приводим еще два отрывка из его соображений. «Дифференциальное исчисление,— говорит он в другом месте,— не есть принадлежность величин, прилагаемая к ним как необходимое качество; но есть род счета, изобретение которого совершенно зависело от воли и об котором понятие должно быть почерпнуто в понятии о функциях, так как они служат предметом сему вычислению». И в другом месте: «Несмотря на старание математиков удержать всю строгость в началах дифференциального исчисления, строгость, которая составляет исключительную принадлежность анализа, несмотря на это, надобно согласиться, что дифференциальное вычисление, перенесенное в геометрию и механику независимо от сей строгости, требует только другой точки зрения, откуда надобно рассматривать дифференциалы; именно их надобно принимать за конечные приращения, присоединяя сюда то правило, что сии приращения должны откидываться при тех величинах, от которых они происходят».

Понятие о функции, конечно, требует точного выяснения в самом начале изложения анализа. Лобачевский на этом подробно останавливается. В своем взгляде на функцию он в середине двадцатых годов (по конспекту, составленному на 1825 г.), по существу, еще придерживается точки зрения Эйлера, что функция определяется действиями, которыми она выражается; но он сознает уже трудности, которые с этой точкой зрения связаны. Он говорит: «Всякая функция достаточно определяется тем действием, которое оно выражает; или помощью условий, которым она должна удовлетворить; но только в последнем случае нельзя предпринять никакого вычисления для отыскания значения функции, не предложив для нее определенного вида». И разыскание вида функции он видит в ее разложении в ряд (методом неопределенных коэффициентов), явно приближаясь к воззрениям Лагранжа. Но в то время как Лагранж определяет функцию исключительно степенным рядом, Лобачевский предусматривает также выражение функции тригонометрическим рядом. Учение Фурье (1822 г.) было еще новым, но Лобачевский им уже хорошо владел и вносил в свое преподавание.

Однако позже, в середине тридцатых годов⁶, Лобачевский уже определенно указывает, что «функцией от х называется число, которое дается для каждого х», и далее: «Значение функции может быть дано или аналитическим выражением или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной».

Точными сведениями о том, как Лобачевский развертывал далее курс анализа, мы не располагаем.

Остановимся еще на взглядах Лобачевского на преподавание механики и математической физики.

Изложение курса механики Лобачевский начинает с тщательного выяснения понятий о движении, массе, скорости, силе. «От ясности первых понятий зависит успех всего учения, а потому и почитаю лучше утвердить в них всякого лишним повторением, нежели допустить темность, предположив, что они легко были приобретены». Установив основные понятия и начала статики, Лобачевский переходит «к уравнению, которое одно заключает в себе все нужное для определения обстоятельств, сопровождающих равновесие». Он имеет в виду начало возможных перемещений («principe des vitesses virtuelles»), на котором он строит всю механику. Но на этом пути лежат большие трудности; предоставим опять слово самому Лобачевскому: «Слишком большая обширность сего правила и бесконечное различие возможных условий, которым подчиняются тела в своем движении, представляли столь много затруднения обнять их в доказательстве, что должно откровенно сказать: совершенно удовлетворительного объяснения нет. Лагранж начинает прямо отсюда свою Механику; Лаплас, кажется, хочет уклониться от ответа и скрыться в выражениях неопределенных. Пуассон и Фурье сделали более и даже всё необходимое: они рассмотрели все случаи, какие действительно могут встретиться в природе. Я думаю, что могу пополнить недостаток; однакож хочу ожидать прежде суждения других и до времени следовать в преподавании примеру знаменитых математиков Пауссона и Фурье».

Как он предполагал исправить эти недостатки, остается неизвестным. Существенно то, что Лобачевский ставил себе задачей построить всю механику из одного общего принципа и напряженно размышлял над тем, как это выполнить. Над этим, конечно, немало размышляли и после него, размышляют и до настоящего времени.

Еще большие трудности представляет постановка преподавания математической физики. Где границы этой дисциплины? Что ее отделяет от опытной физики? Лобачевский придает математической постановке более точных отделов физики очень важное значение. Вот что он об этом говорит: «как скоро здесь оставляют трудную дорогу, которой шел человеческий ум к открытиям; как скоро предполагают не только справедливые понятия о телах и силах, понятия, утвержденные предварительным начальным гимназическим учением; как скоро предполагают познание первых причин явлений и хотят нисходить от них ко всем их действиям, руководствуясь в суждении своем несомнительными законами движения; тогда физика становится математическою наукой в состоянии совершенства, к которому должны мы силиться привести всякое учение о природе, но к которому однакож приведена еще только астрономия и часть физики, но и то последняя принимает иногда один вид математического преподавания без твердых оснований. Недостаток весьма важной, на которой обязан преподаватель обратить внимание. Он должен говорить истину, но не похищать достоинства математического учения; должен дать чувствовать пользу его, несмотря на то, что мы с великим трудом по прошествии продолжительного времени в старательном учении могли постигнуть весьма немногие тайны природы, столь тщательно в ней сокрытые».

Трудности коренились в глубоких разногласиях воззрений ученых в области основных разделов физики, в теории тепла, света и электричества. И при всем том, «Несмотря на все недостатки оснований физики, часть ее математическая делит все явления на несколько разрядов, где они связываются суждением, как необходимые последствия одного предположения». Характерно то, что Лобачевский всемерно искал единой точки отправления для построения теоретической физики. И не удивительно, что это ему не удавалось; нужно было еще свыше ста лет, чтобы эта задача приблизилась к своему разрешению. И в том, что в этом отношении достигнуто, идеи Лобачевского, высказанные и развитые в тех его работах, которые имеют в его творчестве основное значение, сыграли очень существенную, если не главную роль. К этому мы еще возвратимся. Здесь же приведем еще следующую небольшую выдержку: «Способ преподавания предпочел я такой. Всякой предмет, которой должна обнять одна математическая теория, начинаю я излагать, рассказывая все то, что наблюдения здесь открыли; какие законы были примечены, какие мнения физиков существовали, почему оставлены и заменены другими? Остановясь на том, что действительно дознано, с этим вместе я указываю ту цель, к которой должно привести математическое учение».

На этом мы закончим обзор воззрений Лобачевского на преподавание в университете, поскольку оно отражено в сохранившихся документах. Повторяем, этот обзор не претендует на полноту; материалы нуждаются еще в тщательном изучении и освещении; это требует научно-исследовательской работы, которая в некоторых частях в настоящее время и выполняется. Но из того, что здесь изложено, совершенно ясно, что Лобачевский в преподавании, как и в научном творчестве, никогда не останавливался на сложившихся шаблонах,— в каждой дисциплине, которую он преподавал, он искал руководящие основные принципы, теоретические вопросы математики были у него тесно и неразрывно сплетены с их прикладным значением. Это был ученый, склонный к далеко идущей абстракции и в то же время не признававший отделения чистой математики от прикладной, видевший в математике средство познания природы и ее использования,— видевший источники математики в наблюдении и изучении явлений природы.

Мы заключим это изложение взглядов Лобачевского на преподавание в университете еще следующей его фразой: «Я могу сказать, со страстью углублялся за далекими видами великих математиков и думаю, что их постигаю, но преподавая долгое время, различаю совершенства науки от преимущества преподавания». Научно выдержанная точность не всегда может быть совмещена с интересами преподавания, особенно раннего; задача педагога найти в этом отношении наиболее целесообразные пути. Это, быть может, до некоторой степени расходится со взглядами Даламбера (см. стр. 126), к которым Лобачевский был так близок; но есть границы, за которыми этих взглядов уже нельзя полностью провести, и правда здесь полностью на стороне Лобачевского. Здесь, как и повсюду, проявляется чрезвычайная независимость его мысли, не подчиняющаяся авторитету, как бы высоко он ни стоял.

Взгляды Лобачевского, на которых мы останавливались в предыдущем очерке, часто в некоторой мере носят философский характер.

В связи с этим, может быть, именно здесь будет наиболее уместно остановиться на его общих философских взглядах, на его миросозерцании. Дать обстоятельную картину этого миросозерцания едва ли возможно. Каких-либо произведений Лобачевского, которые были бы этому специально посвящены, не существует; вряд ли по условиям того времени, на посту, который он занимал, он имел возможность высказать полностью свои взгляды. Мы располагаем для характеристики его воззрений только отдельными его высказываниями во вступлениях к различным его сочинениям, в «Речи о важнейших предметах воспитания» и в конспектах, на которых мы останавливались выше. Не всегда взгляды, высказанные в различных местах, совпадают, не всегда они высказаны с полной определенностью. Существуют, однако, вопросы, относительно которых взгляды Лобачевского не оставляют никаких сомнений. Лобачевский был решительным врагом всякого мистицизма, всякой метафизики в тогдашнем понимании этого слова. Это он в категорической форме высказывает как в «Речи о важнейших предметах воспитания», так и в разных других случаях (об этом свидетельствуют приведенные выше цитаты).

Очень важно отметить, что это отрицательное отношение к мистике Лобачевский высказывает как раз в то время, когда мистические настроения были в России чрезвычайно распространены. Ярким представителем их был князь Голицын, руководивший министерством духовных дел и народного просвещения, а также его противник митрополит Фотий и многие другие представители господствовавшей реакции и власти. Мистическое направление было широко распространено в различных кружках либеральной интеллигенции, в известном «Библейском обществе» и в масонских ложах. И в эту пору Лобачевский непосредственно после падения Магницкого выступает с решительной речью против всякого мистицизма, против всякой лженауки. Между тем, когда учение Лобачевского получило известность, его противники чаще всего выступали против него с обвинением в мистицизме. И эти обвинения шли с различных сторон, начиная с петербургских метаматиков и кончая даже таким человеком, как Н. Г. Чернышевский, который, конечно, в данном случае судил о взглядах Лобачевского с чужих слов⁷. Однако это было совершенно ошибочно и имело своим источником полное непонимание идей Лобачевского. Нередко ему приписывалось даже учение о четырехмерности пространства в той его постановке, при которой оно действительно является мистическим. Эта точка зрения была широко распространена. Между тем, о четырехмерном пространстве у Лобачевского вообще никакой речи нет.

В тесной связи с этим стоит вопрос, не раз дискутировавшийся, о том, проявлял ли действительно Лобачевский признаки безбожия. Его еще в юности в этом обвинял Кондырев. Дать прямой ответ на этот вопрос невозможно; но кто тщательно ознакомится со всеми материалами, относящимися к жизни и деятельности Лобачевского, вероятно, придет к заключению, что это обвинение не лишено основания. Конечно, последовательным атеистом Лобачевский не был. Но заслуживают внимания некоторые моменты, так сказать, отрицательного характера. Нигде, ни в каких своих высказываниях, ни в ученых сочинениях, ни в административных выступлениях, ни в письмах, ни даже в воспоминаниях друзей не встречается упоминания бога. Несколько слов с упоминанием о боге и религии нашли себе, впрочем, место в «Речи о важнейших предметах воспитания»; но в таком выступлении это тогда, по-видимому, было совершенно обязательным. А между тем, подобными ссылками пестрят в то время сочинения и выступления людей, склонных не только к ортодоксальным религиозным взглядам, но даже к какой бы то ни было форме деизма.

Может быть, в некоторой связи с этим стоит и другой вопрос, основной вопрос теории познания, для разрешения которого громадное значение имеют открытия Лобачевского и относительно которых его методологические взгляды не оставляют никаких сомнения.

Споры между нативистами различных формаций, т. е. людьми, признававшими познание, свойственное человеку от рождения, и эмпиристами, не признававшими никакого познания помимо опыта и чувственного восприятия внешней природы, были в то время очень сильны. Казалось бы, что после Галилея и Ньютона никакому нативизму уже не могло быть места. Между тем, редко кто из мыслителей того времени не отдавал дани нативистским настроениям. Особенно остро стоял вопрос об источниках математического и, в частности, геометрического познания. Убедительность истин этой науки была настолько очевидна, настолько достоверна, что приписать их происхождение опыту, который всегда считали ненадежным, казалось совершенно невозможным. Можно было даже верить в эмпирическое происхождение всякого другого знания; но основные истины, аксиомы геометрии представлялись настолько незыблемыми, что приписывать их результатам наблюдения и опыта решались весьма немногие мыслители. Немногие были в состоянии преодолеть воззрения, которые один из самых крупных ученых и мыслителей прошлого века Гельмгольц характеризует следующим образом⁸:

«Тот факт, что может быть построена такого рода наука, как геометрия, издавна привлекал особенное внимание всех, кто имел живой интерес к принципиальным вопросам теории познания. Среди отраслей человеческого знания нет другой, которая, подобно геометрии, казалось бы, явилась бы перед нами в совершенно законченном виде, в полном научном вооружении, как Афина-Паллада из головы Зевса,— нет другой, пред эгидой которой так мало решались бы возвысить голос противоречий и сомнений.

Геометрии совершенно чужда продолжительная и трудоемкая задача экспериментального накопления новых фактов, которая стоит перед естествознанием в более узком значении этого слова. Единственным методом ее научного продвижения является дедукция: один логический вывод следует за другим, и все же ни один человек со здравым рассудком не сомневается в том, что геометрические предложения должны получать чисто практическое применение в окружающей нас действительности: в землемерии, в архитектуре, в машиностроительном искусстве. Математическая физика постоянно вычисляет пространственные соотношения различного рода; царит уверенность, что результаты построений и опытов подчиняются этим вычислениям, и до настоящего времени не было случая, чтобы эти ожидания обманули того, кто правильно вел вычисления, располагая для этого точными и достаточными данными».

Комплекс взглядов, содержащихся в этой цитате, отнюдь не выражает воззрений самого Гельмгольца. Самый тот факт, что наша геометрия существует, твердо стоит на своей, казалось бы, совершенно непоколебимой базе и в этом своем строении играет такую исключительно важную роль, является фундаментом всего точного знания,—этот факт, как указывает Гельмгольц, всегда выдвигался в качестве убедительного и импонирующего примера того, что якобы возможно познание конкретных фактов, не имеющее за собой опытной базы. Отметив, однако, что этот взгляд выдвигают представители идеалистической философии и что на нем особенно категорически настаивает Кант, который в этом цикле вопросов стоял на чисто идеалистических позициях, Гельмгольц ставит главной задачей своей лекции этот взгляд опровергнуть.

В эпоху, когда складывались воззрения Лобачевского, Кант (1724—1804) принадлежал к числу мыслителей, действительно «владевших умами». Кант являлся, может быть, наиболее яркой фигурой в философии XVIII века, века страстной и упорной борьбы между идеями свободы воли и необходимости, между деизмом и атеизмом, между нативизмом и эмпиризмом; все его философское творчество проникнуто стремлением примирить противоречия этих учений. По существу, Кант не был во всем последовательным идеалистом, и во многих вопросах естествознания и философии он приближался к материализму. Вместе с Лапласом он может считаться творцом (1755 г.) устойчивой космогонической гипотезы. Но тем тверже, тем глубже были проникнуты идеализмом воззрения Канта на наше представление о пространстве и времени. Своеобразны, как известно, были его взгляды на этот вопрос, которые он проводил в своей «Критике чистого разума». Согласно этим взглядам, наши представления о пространстве и времени не только ингерентны (присущи) нашему сознанию, т. е. суть неотъемлемые его элементы, но, более того, они составляют совершенно необходимые формы, в которых наше мышление функционирует, вне которых мышление вообще невозможно. Лобачевский не только преодолел эти воззрения, не только уяснил себе полную их несостоятельность; он выдвинул против них доводы, о которых до создания новой геометрии не могло быть речи, которыми он наносит им решительный удар:

«Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить».

Так пишет Лобачевский во введении к первому своему мемуару «О началах геометрии», и это он безоговорочно повторяет почти во всех своих сочинениях, равно как и в конспектах, о которых мы говорили выше. В одном из этих конспектов (на 1825—1826 уч. г.) он высказывается определенно, что «основания форономии Канта» отброшены. Могло ли это быть иначе? Мог ли Лобачевский, создав новую геометрию, считая даже возможным, что в природе существует именно эта новая, а не старая «употребительная» геометрия, настойчиво отстаивая свое руководящее положение, что только опыт может решить, какая геометрия действительно имеет место в природе — мог ли он допускать, что основные геометрические представления составляют неотъемлемую часть нашего сознания, присущи нам от рождения?

Но более того, самое построение неевклидовой геометрии отнюдь не шло чисто формально-логическим путем. Это может казаться очень странным; но интуиция, даже созерцание играли в этом творении геометра не меньшую роль, чем в свое время при создании классической геометрии. Не только Лобачевский, но и всякий, кому этот процесс совершенно ясен, не может не видеть, что наша мысль способна работать отнюдь не только в формах старых установившихся пространственных представлений, но в совершенно иных, глубоко отличных образах, с некоторым вероятием претендующих на преимущество в мироздании как целом и уступающих место старым представлениям только в пределах ничтожного, непосредственно нам доступного уголка вселенной.

И весьма замечательно, что всякий, усваивавший геометрию пространства Лобачевского, легко привыкал видеть в ней все так же отчетливо, как в нашем обычном пространстве, в «употребительной» классической геометрии. А если так, то какая может быть речь о пространственных представлениях, как об ингерентных, нашему сознанию органически свойственных, от рождения каждому из нас присущих формах мышления? Если раньше для людей, материалистически мыслящих, было ясно, что наши геометрические представления сложились и окрепли во многовековом опыте, то теперь, в свете открытий Лобачевского, вопрос стал совершенно иначе: опыту, измерениям, проникающим гораздо дальше, чем это было доступно не только в повседневной жизни, но и в прежних астрономических наблюдениях, надлежало еще установить, должны ли быть во вселенной как в целом — в макрокосмосе — сохранены геометрические соотношения классической геометрии, или они должны быть заменены теми, которые создал Лобачевский; и в благоприятном случае — с каким значением постоянной k новая геометрия должна здесь функционировать. Установки Канта в их многообразных модификациях, служившие последним прибежищем идеалистической философии, рассеялись как дым. Это блестяще выяснил Гельмгольц в своей знаменитой речи, не оставив «идеалистических установок Канта» даже слепым.

Впрочем, для широких кругов это стало ясно только после того, как идеи Лобачевского были усвоены и признаны; но об этом речь еще впереди. Для самого же Лобачевского эта установка была необходимой предпосылкой всего его творчества. Нужно сказать, что отрешение от того, что считалось извечным, «от творения» присущим человеческому сознанию, неизбежно влекло за собой отказ от многих других навязанных представлений. В высказываниях Лобачевского, безоговорочно отвергающих всякие априорные знания, слышатся и другие недосказанные мысли.

¹Магницний очень внимательно рассматривал эти конспекты Сохранилось следующее его письмо к ректору Г. Б. Никольскому от 17 апреля 1823 г.: «Прилагая у сего примечания на конспект г. ординарного профессора Лобачевского сделанные, я прошу Вас, милостивый государь мой, сообщить ему оные приватно с тем, чтобы дал отзыв, согласится ли он переменить расположение его преподаваний, или представит на примечания сии возражения, которые ежели будут к Вам доставлены, препроводить ко мне приватно же». О дальнейшем движении этого дела сведений не сохранилось.
²Эти конспекты были хорошо известны в Казани. Подготовлялось их опубликование; однако в печати появились только некоторые извлечения из них. Лишь в настоящее время в книге Б. Модзалевского три таких обстоятельных конспекта действительно опубликованы.
³Подлинность их как записей лекций Лобачевского вызывает сомнения.
⁴Может быть это удастся выполнить в заключительном томе «Полного собрания сочинений» Н. И. Лобачевского.
⁵Что касается учения о пропорциональности, то изложение Лобачевского, поскольку он всегда, доказывая равенство отношении, удостоверяет, что оно имеет место при любой степени точности, фактически не вызывает возражений и в настоящее время.
⁶В мемуаре 1834 года «Об исчезновении тригонометрических строк».
⁷Н. Г. Чернышевский. Избранные педагогические Высказывания. Стр. 165—243, М., 1940.
⁸Н. Helmholtz. Ueber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. Vortrage und Reden, Bd. II. Braunschweig, 1884. По-русски см. «Публичные лекции». М., 1892, a также в отдельном издании «О происхождении и значении геометрических аксиом». СПб., 1895.

<<Назад Вперёд>>

Просмотров: 3148

загрузка...

Другие книги по данной тематике