XXII. Сочинения, не относящиеся к геометрии

Мы уже указывали, что в период, когда Лобачевский управлял университетом, появились все опубликованные им сочинения, кроме заключительной работы «Пангеометрия». Почти все исследователи, изучавшие сочинения Н. И. Лобачевского, интересовались, конечно, прежде всего его геометрическими работами. Хорошо известна также его «Алгебра», так как она была выпущена отдельным изданием. Что касается остальных сочинений, не относящихся к геометрии, то нужно определенно сказать, что они до настоящего времени еще недостаточно изучены. Такое изучение требует значительной и притом коллективной исследовательской работы. Эта работа выполняется в настоящее время в связи с изданием полного собрания сочинений Лобачевского, в котором IV том, уже вышедший в свет, содержит «Алгебру», а V том будет содержать остальные сочинения Лобачевского, не относящиеся к геометрии. «Алгебра» была подготовлена к изданию покойным Н. Г. Чеботаревым. Им составлена и вводная статья, содержащая историко-библиографические сведения об этом сочинении и краткий обзор его содержания. Мы пользовались ею при составлении настоящего реферата об этом сочинении.

Сочинение «Алгебра или вычисление конечных» было подготовлено Лобачевским к изданию еще в 1825 г. В архиве Казанского университета сохранилось дело о представлении этого сочинения к печати. 19 сентября 1825 г. Лобачевский направил рукопись в физико-математическое отделение и ходатайствовал о его напечатании в качестве учебника для гимназий. В совет поступил также отзыв профессора Никольского, в котором сказано: «Хотя по объему своему сия алгебра [содержит] только 86 четвертин мелкого письма, но автор в сем небольшом пространстве поместил все нужные статьи и обработал их своим способом с такою точностью и всеобщностью, что трудно сказать, что бы еще к ним прибавить следовало. А потому она с большою пользою может быть введена в употребление в гимназиях». Совет баллотировал (20 голосов за и 2 против), одобрил рукопись к печатанию и представил ее на благоусмотрение попечителя. Однако задержка на этот раз произошла в самом университете. Чем это было вызвано, остается не вполне выясненным. Повидимому, Лобачевский настаивал на том, чтобы деньги, вырученные от продажи книги, по покрытии расходов по изданию, поступили в пользу автора. Не согласился ли ректор (К. Ф. Фукс) с этим справедливым требованием автора, или были другие мотивы задержки, но ходатайство совета о напечатании этой книги не было отослано попечителю. Нелегко давалось Лобачевскому опубликование его сочинений. По истечении почти года Лобачевский выразил в совете свой протест против такого отношения к его сочинению, сказав, что сожалеет о напрасно затраченном труде. Представленная Лобачевским рукопись сохранилась в архиве при указанном деле. Она содержит четырнадцать глав. С течением времени Лобачевский, очевидно, пришел к убеждению, что сочинение это в качестве руководства для гимназии не подходит, несколько его переработал, значительно дополнил и приспособил для преподавания в университете. В 1834 г. он выпустил его в свет под приведенным выше названием — «Алгебра или вычисление конечных».

На обороте титульного листа имеется пометка о разрешении к печати цензурой (от 18 февраля 1832 г.) Эта пометка интересна в двух отношениях. Во первых, она свидетельствует, что книга, хотя и отпечатанная в Казанской университетской типографии, была издана не университетом (по видимому, автором), потому что университетские издания не нуждались в разрешении цензуры. Во-вторых, цензором, подписавшим это разрешение, был старый школьный и университетский товарищ Лобачевского С. Т. Аксаков, служивший тогда в цензурном комитете, позднее знаменитый писатель.

К прежнему тексту книги было прибавлено теперь еще четыре главы (прежняя глава XIV включена здесь в последнюю главу более общего содержания). Вот как характеризует сам Лобачевский содержание «Алгебры» в своем предисловии:

«Всякого рода вычисление делается с топ целью, чтобы найти неизвестное; а потому правила для вычислений соединяются в одно учение — аналитику. Ее можно разделить на арифметику, алгебру и дифференциальное исчисление. В арифметике начинают с примеров на числах; потом, соблюдая постепенность в понятиях, вместо чисел, чтобы разуметь их произвольными, в алгебре употребляют буквы, избегая однакож способа бесконечно малых, или границ, как такового, который требует более усилий от ума и составляет уже последнюю и высшую часть аналитики. В этом смысле алгебра будет также наука, которую Ньютон назвал общая арифметика, чтобы отличить от арифметики на числах, и которую столько же справедливо можно назвать вычисление конечных, в противоложность с дифференциальным, или вычислением бесконечно малых, где являются неоспоримы новые начала, под каким бы видом пи старались их представлять, желая соблюсти строгость, эту существенную принадлежность всякого математического учения».

Хотя Лобачевский, таким образом, отличительной чертой алгебры считал то, что она оперирует только «конечными», т. е. избегает бесконечно малых, во второй половине курса, главным образом в теории бесконечных рядов («строк»), он не может обойтись без бесконечно малых.

Из тех двух сочинений, которые в то время имели для построения курса алгебры руководящее значение,— «Алгебры» Эйлера¹ и «Курса алгебраического анализа» Коши²—сочинение Лобачевского стоит гораздо ближе к книге Эйлера, хотя по содержанию значительно богаче ее. Первые тринадцать глав содержат формальную теорию арифметических действий над положительными и отрицательными числами и алгебраическими выражениями, решение уравнений первой степени, учение о степенях и корнях, о логарифмах. Глава XIII посвящена тригонометрическим функциям, которые Лобачевский определяет при помощи показательных функций известными формулами Эйлера. Глава XV содержит начала теории конечных разностей, а две последние главы (XVI и XVII) посвящены решению уравнений высших степеней.

Предисловие к рукописи, первоначально представленной Лобачевским, начинается следующими словами:

«Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много. Читателю довольно слегка пробежать мою алгебру, чтобы открыть в ней большое различие со всеми изданными до сих пор и не думать более, чтобы намерение было только собрать и повторить то, что только сказано другими. Далее он не замедлит увидеть, что, кроме старания сделать лучший выбор, я прибавил еще и много нового».

Оригинальность мысли, стремление и умение внести новые точки зрения и новые факты во все, чем он занимался, составляли характерную черту Лобачевского. Но прежде чем указать, что нового и своеобразного внесено Лобачевским в курс алгебры, мы приведем еще один отрывок из того же предисловия к сохранившейся рукописи, характерный для его педагогических взглядов:

«Два года читается алгебра в Казанской гимназии под моим руководством, и в последнее время я имел всю причину восхищаться успехами детей. Видел, что они тверды в правилах, понимая все, совершенно уверенные в своих знаниях, отвечают со рвением на вопросы, с намерением даже сысканные, разрешают их легко, не подозревая, что в них может скрываться затруднение, достаточное занять взрослых. Так я уверен в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком; но должны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностью, ясностью и определенностью, а потом уже утвердиться упражнением, чтобы могли через то глубже запечатлеться в памяти и с легкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях. Вот главное правило в искусстве преподавать математику, которой трудность единственно в отвлеченности и обширности понятий, которая, чтобы быть легкой, требует от нас только того, чтобы мы не переставали судить, употребляя знаки, как сокращения для выражения умственных представлений. Такому правилу, однакож, не следовали до сих пор в началах, потому что думали облегчить учение детей, упражняя их преимущественно примерами решения задач, представляя им самим отвлекать для сего нужные понятия и со временем только возвратиться назад, чтобы пополнить то, что было некогда сказано им недостаточно из недоверчивости к их способностям. Требование столь чрезмерное, что не всякий и тот мог его исполнить совершенно, кому после удавалось уходить далеко от начал. Затем готов я думать, что есть ли математика, столь свойственная уму человеческому, остается для многих безуспешной, то это по справедливости должно приписать недостаткам в искусстве и способе преподавания. Не утверждая с дерзостью, чтобы я постигнул совершенство в последнем, но хочу надеяться, что избрал прямую Дорогу к цели, впрочем ожидаю подтверждения от других».

Что же внесено Лобачевским нового в курс алгебры? Указания на это мы находим уже в предисловии к печатному изданию алгебры. Излагая решение системы линейных уравнений, Лобачевский дает очень своеобразный прием для составления определителя любого порядка. По указанию Н. Г. Чеботарева, этот прием, сущность которого заключается в предварительной замене индексов показателями, был впервые опубликован Коши в 1815 г. Нет, однако, основания сомневаться в том, что Лобачевскому, который приписывает этот прием себе, работа Коши не была известна. Лобачевский сам указывает, что ему еще «не случалось видеть сочинение Штурма (об отделении корней уравнения), хотя мемуар Штурма был опубликован в 1829 г. В ст. 232 Лобачевский говорит: «Общее решение уравнений далее четвертой степени еще до сих пор не найдено»; ему, таким образом, еще не известен мемуар Абеля, также относящийся к 1829 г., в котором установлена невозможность общего решения уравнений выше 5-й степени в радикалах. Не исключена, впрочем, и возможность того, что Лобачевский не был полностью убежден в справедливости полученного Абелем результата; он вызывал, как известно, недоверие и у Гаусса (см. ниже, стр. 388).

В теории двучленных уравнений Лобачевский дает усовершенствованный прием для вычисления так называемых гауссовых периодов. Этот прием был им ранее опубликован в «Ученых записках». Мы уже упоминали об этой работе (стр. 66).

Немалый интерес, как указывает Чеботарев, представляют также принадлежащие Лобачевскому новые выводы многих известных фактов, несомненно оригинальные и часто более изящные, чем другие выводы. Отметим среди них прекрасные элементарные выводы биномиального ряда и ряда для логарифма, а также построение элементов теории определителей. Далее представляют интерес его выводы решений уравнений 3-й и 4-й степеней, а также весьма простой вывод Ньютоновых формул для степеней сумм, но наибольшее значение имеет предложенный Лобачевским в главе XVII прием вычисления корней алгебраического уравнения. В настоящее время этот прием, получивший широкое распространение, известен под названием «метода Греффе». Между тем, мемуар Греффе, в котором этот способ разработай, опубликован позже (1837), чем «Алгебра» Лобачевского. С огорчением нужно указать, что этот приоритет Лобачевского был впервые указан не русскими авторами, а английскими учеными Уиттекером и Робинсоном ³. Н. Г. Чеботарев заканчивает свой обзор «Алгебры» Лобачевского следующими словами: «Лобачевский первый опубликовал в России курс высшей алгебры; книга его очень оригинальна и в свое время несомненно представляла собой выдающееся произведение математической литературы. Конечно, Лобачевский вошел в историю не за «Алгебру». Но в ней оп тоже проявил свой талант и свою яркую индивидуальность».

Обращаясь к остальным работам Лобачевского, не относящимся к геометрии, мы вынуждены ограничиться только краткими указаниями их содержания. Можно надеяться, что компетентная их оценка не заставит себя ждать.

Две из этих работ не столько по содержанию, сколько по своему возникновению находятся на рубеже геометрии и других отделов математики.

Выше было указано, что сочинение «Новые начала» содержит соображения, относящиеся к установлению вероятной ошибки, происходящей при решении треугольников при помощи логарифмов. Эти рассуждении в несколько переработанном виде Лобачевский, как указано выше, опубликовал в 1842 г. на французском языке в журнале Крелля.

Второй мемуар, до некоторой степени примыкающий к сочинению «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (см. стр. 267), опубликован Лобачевским в 1852 г. в «Ученых записках Казанского университета» под заглавием «О значении некоторых определенных интегралов». В 1855 г. этот мемуар был опубликован Лобачевским также на немецком языке в так называемом «Архиве Эрмана»⁴. Хотя вычисление ряда определенных интегралов выполнено в этой работе без помощи геометрии, но не подлежит сомнению, что к этой теме Лобачевского привели многообразные вычисления определенных интегралов, которые он производил средствами «воображаемой геометрии».

Далее, три мемуара посвящены учению о сходимости бесконечных рядов.

Лобачевский начинает с тригонометрических рядов, которые в то время занимали умы математиков. Его не удовлетворяют рассуждения относительно сходимости этих рядов, предложенные Коши, Дирихле и Дирксеном. В 1834 г. он посвящает этому вопросу мемуар «Об исчезании тригонометрических строк» (он помещен в «Ученых записках Казанского университета»).

В следующем, 1835 г. Лобачевский помещает так же в «Ученых записках» обширное исследование, посвященное общей теории сходимости рядов: «Способ уверяться в исчезании бесконечных строк и приближаться к значениям функций от весьма больших чисел».

Основная задача, которую Лобачевский здесь перед собой ставит, заключается в установлении критерия сходимости в том случае, когда отношение двух последовательных членов ряда стремится к единице. К этому же вопросу Лобачевский возвращается затем в 1841 г. В виде приложения к изданию наблюдений Метеорологической обсерватории Казанского университета⁵, которым руководил профессор Э. Кнорр, Лобачевский помещает мемуар «Ueber die Convergenz der unendlichen Reihem⁶. Этот мемуар в 1842 г. был направлен министром народного просвещения и президентом Академии Наук физико-математическому отделению Академии с просьбой дать отзыв об этой работе. Собрание отделения и на этот раз поручило дать отзыв об этом труде академику Остроградскому. Очень возможно, что инициатива этого принадлежала Мусину-Пушкину. Обстановка была уже другая. Если бы Остроградский ознакомился с появившейся в 1840 г. работой Лобачевского «Geometrische Untersuchungen», то он, конечно, не столкнулся бы с трудностями в усвоении его идей. Но Остроградский остался верен себе. В заседании 10 июля он сделал доклад, что, согласно желанию министра и президента, он прочел мемуар о сходимости рядов и нашел, что эта новая работа Лобачевского сходна с его старыми работами; автор здесь пренебрегает первыми началами точного рассуждения, как бы умышленно затрудняя возможность следовать за ним, и эти недостатки ничем не искупаются — ни новизной результатов, ни простотою в изложении того, что уже известно. Ввиду этого Остроградский считает, что этот мемуар не может заслужить одобрение Академии.

Приведем следующую выдержку из письменного рапорта Остроградского: «Академия поручила мне рассмотреть мемуар о сходимости рядов и дать о нем отчет. Автор этого мемуара, г-н Лобачевский, ректор Казанского университета, уже известен, по правде говоря, с довольно невыгодной стороны, новой геометрией, которую он называет воображаемой, достаточно объемистым трактатом об алгебре и несколькими диссертациями о различных вопросах математического анализа. Мемуар, представленный моему рассмотрению, не содействует изменению репутации автора»⁷. Между тем, менее чем через полгода после этого Лобачевский, по предложению Гаусса, был избран членом Геттингенской академии (см. выше, стр. 301).

Классической проблеме механики посвящен мемуар, опубликованный Лобачевским в 1834 г. в «Ученых записках Московского университета»: «Условные уравнения для движения и положения главных осей обращения в твердой системе». Мемуар содержит своеобразный вывод уравнений движения твердого тела и основных свойств главных осей вращения.

В июне 1842 г. происходило полное солнечное затмение. Для его наблюдения Казанским университетом была снаряжена экспедиция в Пензу в составе астронома наблюдателя Ляпунова, профессора физики Кнорра и Лобачевского. В том же 1842 г. Лобачевский опубликовал в «Ученых записках Казанского университета» отчет об этой экспедиции «Полное затмение солнца в Пензе 26 июня 1842 г.». Отчет содержит, кроме изложения деятельности экспедиции, обзор взглядов на сущность солнечной короны.

Особняком стоят две работы Лобачевского, не находящиеся в прямой связи с его научными интересами. Первая из них опубликована им еще в 1828 г. в журнале «Казанский вестник»: «О резонансе или взаимном колебании воздушных столбов». Эта статья представляет собою только реферат работы английского физика Уитстона.⁸

Вторая работа представляет собой отзыв о докторской диссертации А. Ф. Попова, составленный Лобачевским в 1845 г. Она помещена в виде приложения к печатному изданию этой диссертации под заглавием «Подробный разбор рассуждения, представленного магистром А. Ф. Поповым под названием «Об интегрировании дифференциальных уравнений гидродинамики, приведенных к линейному виду». По этому отзыву Попов получил степень доктора чистой математики. Сам Лобачевский этой степени никогда не был удостоен.

Все эти работы, конечно, не имеют того значения, которое приобрели геометрические открытия Лобачевского. Но многие из них содержат идеи, весьма своеобразные для того времени. Так, Лобачевский, по видимому, первый отличал непрерывную функцию от дифференцируемой; он первый оперирует понятием, по существу не отличающимся от равномерной непрерывности: как уже указано выше, он дал способ приближенного решения алгебраических уравнений, мало отличающийся от получившего распространение способа, несправедливо называемого «способом Греффе». Нужно еще раз определенно сказать, что эти работы Лобачевского до сих пор очень мало изучены. Но несомненно, что печать своеобразной оригинальной мысли лежит на всем, что он писал; а тематика обнаруживает многообразие его научных интересов.

Наконец, две статьи, опубликованные Лобачевским, не относятся к математическим наукам; отметим их здесь, хотя мы уже о них упоминали выше. Это — предисловие к первой книжке «Ученых записок, издаваемых Казанским университетом» за 1834 г. и «Речь о важнейших предметах воспитания», произнесенная 5 июля 1828 г. (опубликованная в «Казанском вестнике», кн. VIII, 1832).

¹L Euler. Vollstandige Anleitung zur Algebra. St.-Petersburg, 1802.
²А. Сauсhy. Cours d’analyse algebrique. Paris, 1821.
³См. Е. Т. Wittaker and G. RоЬinsоn. The calculus of observations. London, 1924. См. об этом статью Н. Н. Парфентьева, воспроизведенную в т. IV Полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского, стр. 432. Имеется и русский перевод этой книги. Э. Уиттекер и Г. Робинсон. Математическая обработка результатов наблюдений, Л. — М., 1933.
⁴«Archiv fur die wissenschaftliche К unde von Russland», heraus-gegeben von A. Erman, Bd. 14.
⁵«Meteorologische Beobaclitungen aus dem Lehrbezirk der Kaiserlichen Russischen Universitat Kasan». 1841.
⁶«0 сходимости бесконечных рядов».
⁷Л. Б. Модзалевский. Лобачевский, стр. 446.
⁸Wheatstone. Ou the resonances or reciprocated vibrations on columns of air. Qaurterly Journal, 1828,

<<Назад Вперёд>>

Просмотров: 3350

загрузка...

Другие книги по данной тематике