XII. «Начала» Евклида
|
Проникновение геометрии в Грецию привело прежде всего к тому, что отрывочные, эмпирические, почти наглаз установленные факты здесь, в ионийской философской школе и у пифагорейцев, начинают претворяться в цепь связанных между собой предложений; каждое из них занимает в этой цепи более или менее определенное место, логически вытекает из предыдущих, вместе с которыми обусловливает последующие. Достижения, быстро в этом направлении нараставшие, имели двоякое значение: во-первых, каждая теорема, логически выведенная из других, представляла собой завоевание, освобождавшее это предложение от эмпирической аргументации, как бы отодвигала участие интуиции к более простым, ранее установленным фактам; во-вторых, возможность получения геометрических истин средствами логического вывода стимулировала математическую мысль в направлении теоретических изысканий, обогащавших самое содержание геометрии. Соответственно этому развитие геометрии шло в Греции в двух основных направлениях: во-первых, стремились, логическими средствами вскрыть возможно большее число геометрических истин; во-вторых, старались свести к возможному минимуму те геометрические факты, которые устанавливаются эмпирически, т. е. созерцанием, наблюдением, опытом; старались превратить геометрию в дедуктивную науку. В том и в другом направлении эллинская геометрия развертывалась очень успешно; в IV в. до н. э. появились сочинения, содержавшие обширный геометрический материал и носившие ясно выраженную печать дедуктивной логической системы. Одно из этих сочинений, принадлежавшее Февдию из Магнезии, было в ходу в академии Платона, служило руководством, по которому должны были учиться геометрии все желавшие вступить в академию. Платон (428—348 до н. э.) предъявлял особенно высокие требования к строгости геометрической дедукции. Его ученик Аристотель (384—322 до н. э.) дал этим требованиям гораздо более точное выражение; в ряде логических сочинений, которые позже были объединены под общим названием «Органон», он указал пути и правила, которым надлежит следовать при выполнении этих требований; он создал теорию логического вывода (дедукции). По схеме Аристотеля всякая дедуктивная наука должна начинаться установлением свойственных ей категорий — основных понятий, не подлежащих определению, и аксиом — основных истин, не подлежащих доказательству. Все остальное должно быть строгим логическим выводом из этих исходных предпосылок. В следующем столетии этот замысел был в известной мере выполнен Евклидом.
К концу IV в. до н. э. центром интеллектуальной жизни греческого мира становится Александрия. Здесь возникла и первая школа неоплатоников; здесь развернулась и деятельность Евклида (конец IV—начало III в. до н. э.). Составленные им «Начала» вытеснили все существовавшие до него руководства по геометрии и, как мы уже знаем, свыше двух тысяч лет почти безраздельно царили в школе п всюду, где учились геометрии. Постараемся дать некоторое представление о содержании этого замечательного сочинения. «Начала» состоят из 13 книг. Книга I, в свою очередь, разбивается на три части. Первая часть посвящена главным образом учению о треугольниках: об их построении и о соотношениях между сторонами и углами одного и того же или двух различных треугольников; этому сопутствуют также свойства смежных и вертикальных углов. Вторая часть, начинающаяся с 27-го предложения (127, как обыкновенно пишут), посвящена теории параллельных линий и заканчивается предложением 132, которое устанавливает, что сумма углов в треугольнике равна 2d. На этой части нам придется ниже остановиться подробнее. Наконец, третья часть книги I начинается изложением основных свойств параллелограмма и посвящена главным образом учению о преобразовании многоугольников в равновеликие им многоугольники (устанавливает, что всякий многоугольник может быть преобразован в равновеликий ему треугольник); она заканчивается теоремой Пифагора в ее чисто геометрической форме. Книга II содержит так называемую геометрическую алгебру; она устанавливает ряд геометрических соотношений, эквивалентных тождествам элементарной алгебры — Дисциплины, которая была древним грекам еще совершенно чужда. К числу простейших предложений этого рода принадлежит, например, разделение квадрата на два квадрата и два равных прямоугольника (рис. 1) — геометрический эквивалент тождества (a+b)2=a2+2ab+Ь2. Книга II заканчивается преобразованием любого треугольника в равновеликий ему квадрат. 
Книга III содержит учение об окружности, книга IV — о многоугольниках, вписанных в окружность или описанных около окружности, в частности построение простейших правильных многоугольников. Книга V содержит замечательную теорию отношений и пропорций, возникшую вследствие того, что греки в этом учении не могли обойти отношения несоизмеримых отрезков, вообще двух несоизмеримых значений одной и той же величины; понятие же об иррациональном числе, которым может быть выражено отношение несоизмеримых отрезков, было древним грекам еще совершенно чуждо. По-видимому, Евдоксом (408 — ок. 353 до н. э.), учеником Платона, было поэтому построено учение об отношениях, которое вовсе не рассматривает отношение двух значений величины как число, но с безукоризненной точностью строит теорию пропорций. Эта теория и воспроизведена Евклидом, вероятно в собственной обработке. Основываясь на ней, книга VI содержит учение о подобии треугольников и многоугольников. Наиболее существенным в учении о пропорциях Евдокса — Евклида является то обстоятельство, что определение отношения как числа в нем вовсе не содержится. Точно определено только, при каких условиях одно отношение равно другому, больше или меньше его. Но этого достаточно для построения теории пропорций, нужной геометру. Книги VII, VIII и IX (так называемые арифметические книги) посвящены арифметике целых чисел; содержание этих книг составляет то, что мы в настоящее время назвали бы элементами теории чисел. Книга X, самая сложная и, может быть, самая замечательная, посвящена геометрической теории иррациональных величин. Остальные три книги посвящены стереометрии. В известном смысле книга XI соответствует книге I в планиметрии, книга XII —соответствует книгам II и III , книга XIII — книге IV. Главное содержание сложной книги XIII заключается в строгом доказательстве существования пяти правильных многогранников. Современный читатель, ознакомившись с текстом «Начал», узнает в них многое, чему он учился по современному учебнику геометрии, не только по содержанию, но и по форме, вплоть до формулировок отдельных теорем. Известный английский геометр де Морган в середине прошлого века писал: «Никогда не было системы геометрии, которая в существенных чертах отличалась бы от плана Евклида; и до тех пор, пока я этого не увижу собственными глазами, я не поверю, что такая система может существовать». Если бы де Морган дожил до нашего времени, он увидел бы такие сочинения1. Но не подлежит сомнению, что многие формулировки, построения, доказательства Евклида сохранили свое значение по сей день и в чистом виде повторяются в наших учебниках. Выполнение требований Платона и схемы Аристотеля находит себе место в «Началах» в следующем виде. Каждая книга начинается определениями всех тех понятий, которые в этой книге встречаются; первой же книге предпосланы постулаты и аксиомы. До сих пор еще идут не лишенные основания споры о том, как Евклид (и даже еще Аристотель) отличают постулаты от аксиом; по существу, дело сводится к следующему. Аксиомы, которые Евликkbд называет xoivai Iwoiai (общие достояния нашего ума), суть истины, относящиеся ко всяким величинам, не только геометрическим (например: две величины, порознь равные третьей, равны между собой; если к равным придать равные, то получим равные). Постулаты — это требования геометрического характера, которые читатель должен принять для того, чтобы он был вынужден признать все дальнейшие выводы. За аксиомами и постулатами в книге I «Начал» следуют предложения геометрии, одно за другим почти в необходимой последовательности, сопровождаемые доказательствами, т. е. рассуждениями, логически выводящими каждое предложение из определений, аксиом, постулатов и предпосланных, уже ранее установленных предложений; некоторые предложения заменены конструктивными задачами. Греческий текст «Начал» дошел до нас в довольно большом числе манускриптов. Однако большинство из них ведет свое начало от списка текста, выполненного Теоном Александрийским, жившим в середине IV в. н. э. В 1808 г. французский ученый Пейрар (F. Peyrard), филолог и математик, нашел в Ватикане манускрипт X в., содержащих! список «Начал», с текстом, несомненно составленным до Теона. В различных библиотеках обнаружены также манускрипты, содержащие отдельные фрагменты «Начал» другого происхождения. Тщательное сличение всех материалов дало возможность почти полностью восстановить подлинный текст Евклида; сомнительных мест остается немного, преимущественно в аксиомах и определениях, «исправить» которые переписчики особенно старались. Для установления подлинного текста «Евклида» имели значение и арабские переводы, появившиеся в большом числе начиная с IX в. н. э. Сопоставлением манускриптов и исследованием текстов занимались многие математики и филологи. С большим успехом это было выполнено совместно датским математиком Геибергом (J. Heiberg) и германским филологом Менге (Н. Menge). Установленный ими текст «Начал»2 в настоящее время считается наиболее достоверным. Согласно этому изданию, «Начала» содержат пять постулатов, пять основных геометрических положений, на которых покоится все здание геометрии Евклида. Мы приведем здесь сначала первые четыре; более сложным пятым постулатом, имеющим для нас особенное значение, мы займемся ниже. «Нужно потребовать: I. чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию; II. чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно; III. чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом; IV. чтобы все прямые углы были равны между собой». На таких началах строилась вся геометрия. Выше уже приведены высказывания, выражавшие то восхищение совершенствами «Начал» Евклида, которое долго и широко разделялось математиками всего мира. Веками поддерживалась вера в непререкаемые достоинства «Начал» Евклида по существу их содержания и по общей схеме их построения. Геометрия Евклида признавалась самым незыблемым творением научной мысли, и общее впечатление, которое выносил каждый, кто был в состоянии усвоить «Начала», это несомненно подтверждало. При всем том математики, которые шли дальше, которые подвергали тщательному анализу каждое отдельное предложение, оценивая его не только с точки зрения содержания, но и выдержанности логической концепции, были склонны к критике. Конкурировать с Евклидом, написать новые начала геометрии в течение многих веков не решался никто; но в критике отдельных его установок и рассуждений не было недостатка. Издатели «Начал» обыкновенно сопровождали их многочисленными комментариями, одни из которых имели целью лучше пояснить мысль Евклида, другие же предлагали более простые доказательства, а часто выявляли слабые стороны сочинения, его недостатки. В чем заключались слабые стороны «Начал», на которые указывали комментаторы? Одни указывали на недостаточность рассуждения Евклида в том или другом случае; эти указания часто были справедливы, но дефекты легко выправлялись. Другие выясняли, что доказательства Евклида не представляют собою строго логического вывода, как этого требовали Платон и Аристотель, хотя они на это и претендуют. Внимательный анализ обнаруживал, что умозаключение часто подменяется интуицией, указаниями наглядных представлений, соображениями, основанными на очевидности, т. е. на ощущениях глаза. Всякий, кто учился геометрии, конечно, припомнит, как часто ему помогал чертеж, помогал своею наглядностью, а не логически установленными признаками. Такого рода соображения, основанные на наглядной очевидности, в рассуждениях Евклида встречаются на каждом шагу, нарушая «цепь логических выводов». «Начала» должны быть признаны пестрой смесью логики и интуиции. Это, впрочем, не вызывало недоверия к справедливости результатов, потому что рассуждения, основанные на наглядности, здесь особенно убедительны и не вызывают сомнений. Где же коренится источник этой логической невыдержанности? Вне всякого сомнения, он кроется в слабости той исходной базы, на которой покоится все построение «Начал». На критике исходных определений, аксиом и постулатов Евклида сосредоточено главным образом внимание комментаторов. Благодаря их анализу стало совершенно ясно, что этот фундамент слаб, что крепкое здание геометрии поддерживается еще другими основаниями, не получившими выражения в аксиоматике Евклида. Отсюда прежде всего возникает стремление эти дефекты исправить, укрепить опорные камни, на которых покоится геометрия, добавить новые. Комментаторы строго критиковали исходные определения Евклида, но очень редко заменяли их более удачными, белее надежными. Комментаторы не без основания исключали одни аксиомы или постулаты (например, постулат IV), иногда не без основания включали другие; но ничего сколько-нибудь существенного в систему Евклида они не внесли. Комментаторы Евклида выявили, что «Начала» Евклида еще очень далеки от тон совершенной дедукции, которую им приписывали, которой требовал Платон. Вера в это совершенство была поколеблена. «Евклидовы начала,— говорит Лобачевский в начале первого своего мемуара по геометрии,— несмотря на глубокую древность их, несмотря на блистательные успехи наши в математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки. В самом деле, кто не согласится, что никакая математическая наука не должна начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы геометрию», и далее: «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами: врожденным — верить не должно». Однако к этому твердому убеждению Лобачевского привели не обычные соображения эмпиристов. Он пришел к нему другим, более сложным путем, связанным с теми идеями, которые составляли предмет его собственного гениального творчества. 1Как на наиболее серьезное из них укажем Н. G. Forder. The fondations of Euclidean geometry. Cambridge, 1927. 2«Euclids opега omnia». Eddiderunt J. L. Heiberg et H. Menge. g. 1883—1895. «Начала» занимают первые пять томов. |
загрузка...