Реклама

Loading...
В. Ф. Каган.   Лобачевский

IX. Евклид, Даламбер, Лежандр и русские авторы учебников по геометрии

В XVIII в. в качестве серьезной учебной книги по геометрии еще безраздельно царили «Начала» Евклида. В школе и вне ее, всюду, где преподавание геометрии выходило за пределы самых первых начатков этой науки, оно велось по Евклиду. Это преобладающее значение Евклида в некоторых странах сохранилось и в ту пору, когда Лобачевский учился, и даже когда он уже преподавал в Казанском университете. В Англии и в Италии это неизменное тяготение к Евклиду, как к учебной книге для средней школы, настойчиво продолжалось еще до последней четверти прошлого века. Основной причиной этого были, конечно, неоспоримо высокие достоинства творения Евклида. Еще Кардан дал следующее выражение своему восхищению «Началами» Евклида: «Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что никакое другое сочинение, по справедливости, нельзя с ними сравнить. Вследствие этого в них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличать в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Евклида».

Здесь неуместно, конечно, входить в общую оценку «Начал», Евклида, высокие достоинства которых, действительно неоспоримы; к тому же ниже нам еще придется этим сочинением заниматься. Но сам Евклид, по-видимому, не смотрел на свои «Начала» как на подлинно учебную книгу, особенно для начинающих; и немного найдется в настоящее время людей, которые были бы склонны защищать учебное значение Евклида. Если при всем том в интересующую нас эпоху «Начала» еще сохранили первенствующее место в учебной литературе, то это объяснялось главным образом двумя причинами.

Во-первых, среднее образование, включавшее значительный курс геометрии, было доступно только господствующим классам, которые издавна культивировали классическое образование. «Начала» Евклида представляли собою одно из величайших произведений античной литературы. Восхищение, с которым относились к этой замечательной книге в средние века, получило выражение в приведенной цитате из книги Кардана; оно сохраняло всю свою силу в XVIII в. и в первой четверти XIX в. Сопоставление «Начал» с библией было обычным в педагогической литературе и придавало «Началам» облик неоспоримого авторитета. «Никогда ни одно научное сочинение, — писал уже в начале XIX в. Боссю, — не имело успеха, сравнимого с «Началами» Евклида. Исключительно по ним в течение веков учили геометрии во всех математических школах; они переведены на все языки и на всех языках комментировались, — доказательство их исключительного превосходства»1.

Со всем характером классического образования находится в тесной связи и вторая причина господства Евклида как учебной книги. Она коренилась в самых задачах, которые связывались с преподаванием геометрии. Основную цель этого преподавания видели не в том, чтобы сообщать учащимся фактические сведения о пространственных образах и соотношениях или развивать в них пространственные представления. Главную роль геометрии в общей школе усматривали в том, чтобы при ее посредстве развивать и укреплять формальную дисциплину ума. Еще только пятьдесят лет назад известный германский педагог Шрадер писал: «Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математики дисциплинировать ум». Естественно, что этой цели формально выдержанная система Евклида, даже при всех ее изъянах, раскрытых комментаторами, могла служить лучше, чем какая бы то ни было другая книга.

Когда во второй половине XVIII в., с повышением роли буржуазии в социально-экономической жизни, при назревавших во Франции революционных настроениях, тяготение к образованию стало охватывать новые, более широкие слои населения, понадобилась и более доступная учебная книга. В виде переходной ступени это сказалось прежде всего в появлении так называемых школьных изданий «Начал» Евклида. Такие школьные издания отличались тремя особенностями.

Во-первых, это были переводы Евклида на родной язык учащихся; этот отказ от «классического» — греческого или, в лучшем случае, латинского — текста представлял уже существенный шаг вперед, делавший «Начала» гораздо более доступными.

Второй особенностью школьных изданий Евклида являлось то, что почти все они содержали только восемь книг из тринадцати: первые шесть книг планиметрических, одиннадцатую и двенадцатую стереометрические; арифметические книги (VII—IX), трудные X и XIII книги вовсе опускались; сохранялось то, что было строго необходимо при обучении геометрии.

Третью особенность составлял характер примечаний и дополнений, которыми обычно сопровождались «Начала». В них критика отходила на задний план; вместо традиционных «схолий» появляются примечания и дополнения, имеющие целью пояснить текст, сделать его более доступным для учащегося. Авторы иногда обрабатывают в этом смысле самый текст Евклида. Некоторые школьные обработки «Начал» выдержали очень большое число изданий. Так, например, английский перевод Симеона (R. Simson), выпущенный в 1756 г., выдержал около 30 изданий; английская же обработка Плейфера (J. Playfair), вышедшая в 1797 г., выдержала 10 изданий. Плейфер ввел буквенные обозначения для длин отрезков и этим значительно модернизировал некоторые разделы указанного сочинения, особенно теорию пропорций. В Германии была широко распространена обработка Лоренца (J. F. Lorenz), первое издание которой вышло в 1773 г. Лоренц еще в большей степени модернизировал «Начала». Внесенные им поправки, правда, существенно не меняли текста Евклида; но все же они, несомненно, этот текст оживили, сделали «Начала», как тогда считали, учебной книгой.

Во Франции школьные издания Евклида появились гораздо раньше. Уже в 1672 г. Дешаль (С. F. D6chales) выпустил французский перевод «Начал» с существенной переработкой, имевшей целью сделать это сочинение значительно более доступным. Хотя этот перевод, по замечанию Лагранжа и Даламбера, сохранил, в сущности, только последовательность теорем Евклида и не мог быть признан удачным, он несколько раз переиздавался и даже в этой своей модификации «Начал» был издан на итальянском и английском языках. Это свидетельствует о том, как велика была потребность в более доступном учебнике геометрии, нежели подлинные «Начала» Евклида.

Но в тот период, который нас интересует, таких изданий во Франции пе было. Правда, в 1804 г. Пэйрар выпустил в свет французский перевод восьми книг2 (как и в других учебных изданиях — I—VI, XI, XII), но не в том стиле, в каком в Англии и в Германии выпускались издания Симеона, Плейфера и Лоренца: это был дословный перевод, очень тщательно выполненный, послуживший основой для полного академического издания Евклида на трех языках (греческом, латинском и французском), который и в настоящее время считается одним из лучших.

Мы здесь касались только педагогического значения Евклида. О научной установке «Начал» нам придется подробно говорить ниже.


С середины XVIII в. во Франции нарастали настроения, знаменовавшие глубокий переворот во взглядах на все общественные отношения в стране; подготовлялась революция. В области народного образования все настойчивей становились требования большего его расширения и придания ему более живого и конкретного характера. Это, естественно, не могло не отразиться и на взглядах на преподавание математики. Как известно, новая идеология того времени в большой мере получила свое выражение в идеях «энциклопедистов». «Энциклопедия» Дидро и Даламбера3 стала выходить в 1751 г. Математическим ее разделом руководил Даламбер в сотрудничестве с Боссю. В 1757 г. появился VII том «Энциклопедии», в котором нашла себе место статья Даламбера «Геометрия». Часть этой статьи была посвящена вопросу о том, как надлежит составлять начала геометрии. Речь идет о том, как надлежит излагать в учебных целях начала науки вообще, геометрии — в частности. Читатель, знакомящийся с этой статьей в настоящее время, легко может получить впечатление, что многие утверждения автора тривиальны. Но это только означает, что идеи Даламбера в общем получили такое признание и такое распространение, что сейчас представляются общепризнанными. Не так обстояло дело почти 200 лет назад, когда статья Даламбера была опубликована. Отчетливо высказанные идеи Даламбера были не только новыми, но в известном смысле даже революционными. Как известно, «Энциклопедия» получила широкое распространение, внимательно читалась даже противниками новых течений; на математические круги педагогов статья Даламбера имела огромное влияние. Она с большим интересом читается и в настоящее время.

Даламбер относится к Евклиду крайне, быть может, даже чересчур сдержанно; он посвящает ему только следующие строки в начале статьи. «Евклид, живший приблизительно на 50 лет позже Платона, ... собрал то, что его предшественники открыли в области начал геометрии; он составил дошедшее до нас произведение, которое многие из современных геометров считают лучшим из сочинений этого рода». Даламбер, однако, не считает, что начала геометрии должны и в его время составляться по плану и методу Евклида. Он вообще не считает полезным следовать в учебной книге традициям, освященным веками, или излагать все перипетии исторического генезиса руководящих идей; необходимо только сохранить «внутреннюю концепцию понятий».

Изложение начал геометрии по плану Даламбера должно быть прежде всего сообразовано с тем, для какой цели книга предназначается — для начального ли обучения, имеющего узко практические цели, для более серьезного изучения геометрии или для подготовки людей, которые имеют склонность и способности к специальным занятиям этой наукой; каждой из этих трех основных задач должна соответствовать учебная книга особого типа.

С этим должна быть сообразована и степень точности построения системы геометрии; во всяком случае нужно избегать той «химерической» точности, которая, оставаясь сомнительной в научном отношении, в учебной книге несомненно вредна и часто даже переходит в софистику. В соответствии с этим Даламбер считает, что начала геометрии не следует начинать с аксиом, так как построение учебной книги на предпосланных аксиомах есть претензия именно на такого рода химерическую точность. Хорошо известно, что построение геометрии в «Началах» Евклида далеко не носило строго логического характера4. Наглядные представления, указания глаза сопутствуют в этом сочинении логическим рассуждениям на всем его протяжении; рассматривать «Начала» как систему выводов из предпосланных определений и аксиом ни в каком случае невозможно.

В эпоху Даламбера попытки построения геометрии на выдержанной аксиоматике даже в целях научного изложения предмета несомненно носили еще «химерический» характер в том отношении, что логическая строгость, которую хотели в это дело внести, была кажущейся и при сколько-нибудь внимательном анализе оказывалась иллюзорной, не выдерживающей критики. «Какая польза в том, — замечает Лакруа, — чтобы нагромождать аксиомы в начале книги, ... когда мы все равно не можем воспользоваться ими при доказательствах». Попытки строить учебную книгу по элементарной геометрии на основе строго выдержанной аксиоматики несомненно обречены еще на неудачу даже и в настоящее время. Но от точности фактической и притом доступной учащемуся при серьезном изложении геометрии, по взглядам Даламбера, ни в коем случае не следует отказываться. Более того, вот как формулирует Даламбер эти мысли в своей статье: «Спрашивается, какому из двух качеств следует отдать предпочтение при составлении начал: доступности или строгой точности? Очевидно, что самый вопрос содержит неправильное предположение; он предполагает, что строгая точность может быть лишена доступности; но имеет место противоположное: чем строже дедукция, тем доступнее она для восприятия, ибо точность заключается в сведении всего к наиболее простым принципам. Отсюда следует также, что строгость в собственном смысле этого слова необходимо влечет за собою наиболее естественный и наиболее прямой метод». Итак, точность, отчетливая и доступная, чуждая всякой метафизики и схоластики, часто скрывающейся в нагромождении аксиом, — таково основное требование, которое Даламбер предъявляет к составителям «Начал». И в этом смысле дедукция заключается не в выводе всей системы из небольшого числа аксиом и определений (по отношению к которым Даламбер тоже рекомендует большую осторожность), а в сведении сложных истин к простым, доступным и очевидным, сколько бы их ни было, без попытки дать полный их перечень. Конечно, указать границы, где кончается «химерическая» и где начинается «действительная» точность, не так просто, да и вряд ли вообще возможно; но по существу точка зрения Даламбера ясна; с тенденциями Евклида и его комментаторов она глубоко расходилась.

Далее, опять в противоположность Евклиду, в началах, по мнению Даламбера, преобладающее значение должна иметь метрическая геометрия. Сообразно этому, учебную книгу по геометрии следует делить не на учение о прямой, о плоскости, о пространстве (т. е. на лонгиметрию, планиметрию и стереометрию, как эти термины понимаются в настоящее время), а на три отдела, посвященные соответственно измерению длин, площадей и объемов. Даламбер дает подробные указания, как следует строить учение об измерении. Все учение об измерении основано на пропорциональности одних величин другим; Даламбер дает подробные указания, какого рода пропорциональности должны быть устанавливаемы. Эти указания в такой мере выполняются современными учебниками, что вряд ли нужно на этом останавливаться; достаточно будет сказать, что вся эта схема идет от Даламбера.

Евклид, как известно, очень осторожно пользуется движением; он непосредственно прибегает к нему только два раза. Даламбер рекомендует пользоваться движением систематически, выясняя, однако, что речь идет здесь не о «грубом механическом движении», а о геометрическом выяснении того, какие точки, линии и фигуры могут Друг друга покрыть. Эта точка зрения очень близка к идеям «Эрлангенской программы» Клейна.

Что касается самого установления пропорциональности, то узловым пунктом здесь является случай несоизмеримых отношений. Даламбер считает, что равенство несоизмеримых отношений должно устанавливать доказательством от противного; он решительно отклоняет совершенную, но очень сложную, мало доступную евклидову теорию пропорций. В этом есть, конечно, логический дефект, но вряд ли его можно избегнуть в преподавании начинающим.

Наконец, в учении об измерении длины окружности, площади круга, объема пирамиды, поверхности круглых тел нельзя обойтись без учения о бесконечно малых; но существу, конечно, они содержатся уже в теории несоизмеримых отношений. Нельзя сказать, чтобы статья Даламбера содержала достаточно точные указания того, как, по его мнению, следует строить учение о бесконечно малых. Он во всяком случае считает необходимым ввести понятие о пределе и основных его свойствах, но допускает и применение метода исчерпывания в различных его формах; он предлагает, таким образом, пути, совершенно чуждые Евклиду.

В этом свободном изложении статьи Даламбера мы далеко не исчерпали содержащихся в ней идей; в ряде дополнений в других статьях, на которые в ней имеются многочисленные ссылки, эти идеи получают значительное развитие. Быть может, далеко не все, что Даламбер предлагает, действительно должно быть проведено в учебной книге по геометрии; многое в настоящее время перекристаллизовалось, многое отпало. Но существенно то, что во всем комплексе статей по геометрии, помещенных в «Энциклопедии», Даламбер дал самостоятельно разработанный план построения начал геометрии как учебной книги, который почти во всех основных своих частях глубоко отличается от системы Евклида; он был проникнут новизной, стремлением отбросить старый шаблон, исканием в деле преподавания новых путей.

Те же идеи в еще более развитом виде проводятся Даламбером в очень интересном сочинении, опубликованном им в первый раз в 1759 г.5 Четвертый том этого сочинения посвящен основным вопросам философии, а глава XV — геометрии; она содержит суждения о сущности геометрии, ее задачах и способах ее построения.

Статьи Даламбера получили широкое распространение в самой Франции и за ее пределами; с ними не только считались при составлении новых «Начал» геометрии, но часто основывали на них построение новой книги. Три сочинения, относящиеся к концу XVIII и началу XIX в., получили при этом преобладающее значение: «Курс» Безу, «Начала» Лежандра и «Начала» Лакруа. Эти сочинения в различной степени выдерживают план Даламбера; они имеют различное назначение и разную структуру, но все три руководства отражают тенденцию Даламбера оторвать преподавание геометрии от традиционной, тяжелой схемы Евклида; все три книги написаны выдающимися математиками и талантливыми педагогами; они не снизили уровня преподавания геометрии, сделав ее гораздо более доступной. Эти три учебника геометрии получили чрезвычайно широкое распространение во всех культурных странах и знаменуют собой новую эпоху в деле преподавания геометрии. И это не случайно: три эти книги — это именно те три типа учебной книги, о которых говорит Даламбер.

Наиболее существенным было то, что все три книги были составлены очень талантливо. Они получили широкое распространение во всей Европе, выдержали огромное число изданий. Ни в каком случае не будет преувеличением сказать, что все последующие учебные книги по геометрии в XIX в. или копируют Безу, Лежандра и Лакруа, смотря по своему назначению, или заимствуют отдельные части то у одного, то у другого автора.

Книга Безу наиболее элементарна; напротив, книга Лакруа представляет собой учебник повышенного типа. Для среднего образования, несомненно, наибольшее значение приобрели «Начала геометрии» Лежандра. Они собственно сохранили общий остов «Начал» Евклида и его выдержанное синтетическое изложение. Английский геометр де Морган (De Morgan) имел все основания смотреть на «Начала» Лежандра как на переработку книги Евклида. Но это была очень глубокая переработка.

Прежде всего, Лежандр изменил самый стиль «Начал»; он заменил формально-эпический язык греческого геометра живым французским изложением. Он опустил все, что не укладывается в рамки преподавания геометрии юношам, а не философам; он превратил «Начала» в курс элементарной геометрии. Оп ввел элементы алгебры, и вторая книга Евклида отпала, так как в ней уже по было нужды; она могла только иллюстрировать общие алгебраические соотношения. Евклид, не владея понятием об иррациональном числе, не рассматривает отношение двух отрезков как число; он вынужден поэтому излагать сложную теорию пропорций (по существу принадлежавшую Евдоксу) и посвящает этому всю пятую книгу «Начал». Лежандр арифметизировал учение об отношениях и пропорциях, и отпала трудная пятая книга. Извлечение квадратного корня, введение радикалов освобождает геометрию от совершенно недоступной десятой книги. В теории пропорций, на которой Лежандр строит учение об измерении по плану Даламбера, он всегда обрабатывает случай несоизмеримых отношений общим приемом приведения к абсурду; евклидова теория пропорций становится ненужной. Тем же методом доказательства от противного он заменяет и теорию пределов — прием, составляющий уже слабую сторону книги. Лежандр выдерживает строгость геометрического рассуждения и лишь изредка впадает в ту иллюзорную точность, от которой предостерегает Даламбер.

Не подлежит никакому сомнению, что со всеми этими основными сочинениями по элементарной геометрии Лобачевский был хорошо знаком. Руководства Безу, Лежандра и Лакруа были уже переведены на русский язык. О работах Лежандра по основам геометрии и об его «Началах» Лобачевский часто упоминает. Свой курс анализа, как он сам указывает, он читал по учебнику Лакруа. «Энциклопедия» в России была распространена; плану Даламбера были посвящены и русские статьи. Можно поэтому сказать, что руководящими сочинениями, на которых складывались воззрения Лобачевского на основания геометрии и на их преподавание, помимо Евклида, были работы Даламбера, Лежандра и, может быть, Лакруа. Руководство Безу было слишком элементарным, чтобы иметь серьезное влияние.


Остановимся теперь на том, какова была в то время русская учебная литература по началам геометрии. Прежде всего — об изданиях Евклида. Уже в XVIII в. было выпущено в свет три перевода «Начал» на русский язык. В 1739 г. был издан перевод Сатарова, сделанный с латинского текста. Он был выполнен под руководством англичанина Фарварсона (A. Farwarson). Этот профессор Абердинского университета был приглашен в Россию Петром6. Фарварсон выпустил в России ряд учебников по математике, в том числе перевод «Начал» в сокращенном и переработанном виде г. Хотя этот перевод был, таким образом, предназначен для школы, но вряд ли он для этой цели служил; распространения он во всяком случае не получил.



Титульный лист первого русского издания «Начал» Евклида.

В 1769 г. был издан перевод Курганова, сделанный, по-видимому, с французского издания Дешаля, и, наконец, в 1784 г. был опубликован перевод с греческого. Эти переводы также не имели широкого школьного значения, но, очевидно, в некоторых морских и сухопутных училищах они служили учебниками. В 1819 г. появился перевод Петрушевского7. Он был сделан с так называемого Оксфордского греческого издания и выполнен очень тщательно; никогда позже мы не имели такого хорошего русского издания Евклида. Издание «Начал» в переводе Петрушевского получило значительное распространение в математических кругах, но учебником и оно, конечно, не служило. Переводчик и сам говорит в предисловии, что это сочинение предназначается для «любителей» геометрии.

Таким образом, настоящего школьного издания Евклида в России не было. Петрушевский, впрочем, не рекомендуя своего перевода в качестве учебной книги, по-видимому, считался только с фактическим состоянием русской школы. По существу, он принадлежал к числу тех почитателей Евклида, которые совершенно безоговорочно признавали «Начала» наиболее совершенным, непревзойденным учебным руководством по геометрии. В своем предисловии он оспаривает решительно все указания, которые делались на недостатки «Начал», хотя бы как учебной книги. Не называя Даламбера, он оспаривает все его положения и даже сложную евклидову теорию пропорции считает достаточно приспособленной для преподавания учения о геометрической пропорциональности.

Такое же тяготение к Евклиду особенно настойчиво проявлял академик С. Е. Гурьев. В 1798 г. он опубликовал большое сочинение, посвященное научной обработке начал геометрии8, а затем в 1811 г. издал обстоятельный курс элементарной геометрии9. В предисловии к этому руководству Гурьев приводит план Даламбера, но соглашается только со следующими его словами, которые мы в переводе Гурьева и приводим: «Дабы составить превосходные элементы геометрии, Декарт, Ньютон, Эйлер, Лейбниц, Бернулли и другие не были бы через меру велики», и потому, «нигде не находя ни начал сея науки, отличительным образом означенных и потом сходственно с сим отличением на самое дело употребленных, ниже предмета оной, в надлежащем виде представленного и потом соответственно сему виду изложенного, мы принужденными нашлися столь известную науку излагать снова». Гурьев считает, что Евклид стоит бесспорно выше всех его критиков, в том числе и Даламбера; но совершенным он его творение не признает и потому считает нужным собственными силами его усовершенствовать как с научной, так и с учебной стороны. Это лейтмотив всех комментаторов Евклида, к числу которых Гурьев, несомненно, принадлежал, далеко уступая, однако, например, своему современнику Кёстнеру в знании первоисточников. Казалось бы, уже самые размеры этого сочинения — почти 700 страниц убористого шрифта — говорят за то, что для обучения геометрии в школе оно непригодно. И при всем том «Основания геометрии» академика Гурьева были признаны основным руководством для кадетских корпусов, по-видимому в силу авторитета автора, а может быть, потому, что книга была посвящена «державнейшему великому государю Александру Павловичу».

Перечисляя в конце своего отзыва о «Геометрии» бывшие в то время в ходу лучшие руководства по геометрии, с которыми книга Лобачевского, конечно, не могла конкурировать, Фусс называет, кроме «Оснований» Гурьева, переводные книги Безу, Лежандра и Лакруа, а также русские — Румовского, Гамалеи и Осиповского. Он, естественно, не упоминает о своем собственном руководстве10. Мы, однако, на нем несколько остановимся. Эта книга предназначалась для военных учебных заведений, но только сухопутных. Она несомненно доступнее книги Гурьева. На ней лежит явный отпечаток влияния Безу, и не без пользы для дела. Как учебная книга она несомненно стоит выше «Оснований» Гурьева, но той «неупустительной» строгости, которой Фусс требует от учебника в своем отзыве, в его книге нет и следа. К тому же оригинал написан по-французски и очень скверно переведен на русский язык. Книга в этом виде производит неприятное впечатление, не соответствующее научному авторитету автора — академика.

Останавливаться на разборе других русских руководств того времени по элементарной геометрии и входить в рассмотрение каждого из них вряд ли целесообразно. Мы отметим только курс профессора Харьковского университета Т. Осиповского11. В противоположность учебникам Гурьева и Фусса, он был составлен не для военных, а для гражданских учебных заведений, издан Главным правлением училищ и, нужно сказать, составлен гораздо тщательнее, гораздо лучше не только в педагогическом, но и в научном отношении. Он несет на себе ясно выраженную печать влияния Лежандра и Даламбера. Это не является неожиданностью. Осиповский вообще был человеком прогрессивного образа мыслей.

Таким образом, в первую четверть XIX в. в России существовали те же взгляды на учебник геометрии, что и во Франции. В наиболее влиятельных академических кругах преобладало тяготение к Евклиду. В педагогических кругах было сильнее влияние Даламбера, Лежандра и Лакруа. Выделяя поэтому сочинения, которые имели влияние на Лобачевского, когда он составлял «Геометрию», нужно только повторить, что это были «Начала» Евклида, статьи Даламбера и «Начала» Лежандра, может быть Лакруа. На этих авторов Лобачевский систематически ссылается, часто следуя им, чаще критикуя их. Вместе с тем, постоянно размышляя над этими вопросами, он составил себе собственные взгляды на дело построения геометрии, собственную систему ее обоснования. Это привело Лобачевского к его великим открытиям. Первые шаги в этом направлении ясно видны уже в его первом сочинении, в учебнике «Геометрия», так категорически осужденном Фуссом.




1Ch. Воssut. Essai sur l’histoire generale des matematiques. Paris, 1802, I, стр. 45.
2Н. F. Реуrаrd. Les elements de geometrie d’Euclide traduits litteralement, Paris, 1804.
3«Encyclopedie ou dictionnaire raisonne des sciences, des arts et des metiers». Mis en ordre par Diderot et par d’Alambert. Paris, 1751—1780.
4См. гл. XII, стр. 160.
5Melange de litterature, d’histoire et de philosophie. Фамилия автора на обложке не была указана и была установлена позднее.
6«Евклидовы элементы из двенадцати ньютоновых книг выбранные и восемь книг через профессора Фарварсона сокращенные, которые переводил с латинского хирургус Сатаров в 1739 г.».
7«Евклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая, содержащие в себе основания геометрии». Перевод с греческого Ф. Петрушевского с прибавлениями и примечаниями. СПб., 1819.
8С. Гурьев. Опыт усовершенствования начал геометрии.
9С. Гурьев. Основания геометрии, 674 стр. и 20 листов чертежей. СПб., 1811.
10И. Фусс. Геометрия в пользу и употребление обучающегося благородного юношества в н. сухопутном шляхетском корпусе.
11Т. Осиповский. Курс математики, изданный от Главного правления училищ. СПб., 1814 (изд. 2-е).
Loading...
загрузка...
Другие книги по данной тематике

Борис Спасский.
История физики. Ч. I

В. Ф. Каган.
Лобачевский

Артур Орд-Хьюм.
Вечное движение. История одной навязчивой идеи

И. Д. Рожанский.
Античная наука

И. М. Кулишер.
История экономического быта Западной Европы.Том 1
e-mail: historylib@yandex.ru
X