XXXII. Обоснование геометрии
|
Возвратимся теперь к тому основному вопросу, который привел Лобачевского к неевклидовой геометрии, к теории параллельных линий, к V постулату Евклида. После того как исчезли сомнения относительно логической правильности, непротиворечивости геометрии Лобачевского, вопрос о доказательстве постулата о параллельных также никаких сомнений вызывать уже не мог. В самом деле, если геометрия Лобачевского логически так же правильна, как и геометрия Евклида, то это означает, что с остальными постулатами Евклида одинаково совместны как V постулат, так и противоположное ему допущение. Иначе говоря, ни V постулат Евклида, ни постулат Лобачевского не представляют собой следствия из остальных постулатов, ни тот, ни другой не могут быть доказаны; приобщая к остальным постулатам V постулат Евклида, мы получаем геометрию Евклида (параболическую геометрию), а приобщая постулат Лобачевского, мы получаем созданную им (гиперболическую) геометрию. Чтобы получить геометрию Римана (в узком смысле этого слова, эллиптическую геометрию), приходится внести еще и другие изменения во всю аксиоматику Евклида.
Существенное значение здесь имело не только то, что получил, наконец, разрешение вопрос, свыше двух тысяч лет тяготевший над человеческой мыслью; наиболее важным было то, что сложилось ясное представление о независимости одних положений от других. Если мы имеем ряд суждений (S, Р, Q, R,...) и одно из них, скажем S, не зависит от остальных, то это означает, что оно не представляет собой следствия остальных, что с ними совместимо как суждение S, так и противоположное ему суждение. Обозначим через ∑ совокупность суждений Р, Q, R,..., через S — суждение, противоположное суждению S. Если мы обнаружим, что с совокупностью суждений ∑ совместны как суждение S, так и S, то отсюда будет следовать, что ни S, ни S не есть следствие суждений ∑. Какими же средствами такая независимость может быть установлена? Для этого нужно показать, во-первых, что существует такая совокупность объектов, такое множество, в котором совместно осуществляются суждение S и совокупность ∑, в котором при надлежащем истолковании входящих в эти суждения терминов (понятий) имеет место (оправдывается, осуществляется) совокупность суждений (S, Z); во-вторых, нужно показать, что в то же время существует и такое множество, в котором совместно осуществляются суждения S и ∑. Отсюда — следующая установка в деле построения той или иной выводной (дедуктивной) науки, в частности, математической дисциплины. В основе каждой математической дисциплины должна лежать определенная аксиоматика, т. е. ряд суждений, связывающих те основные понятия, которыми эта дисциплина оперирует. Эти суждения, во-первых, не должны содержать противоречия, должны быть «непротиворечивы», а во-вторых, должны быть независимы. Это налагает прежде всего требования и на самые исходные понятия; они не должны быть связаны с какими-либо совершенно определенными объектами или представлениями, они должны допускать, как говорят, различные интерпретации или различные формы осуществления. Для того чтобы обнаружить непротиворечивость принятой системы суждений, нужно показать, что реально существует такая система объектов (такое множество), в которой все эти суждения при надлежащем истолковании входящих в них терминов оказываются справедливыми, выполняются те требования (постулаты), которые к ним этими суждениями предъявляются. Чтобы доказать независимость всей системы суждений, нужно обнаружить тем способом, который указан выше, что ни одно из этих суждений по представляет собой следствия остальных. Так, например, чтобы построить систему постулатов, из которых может быть строго логически выведена геометрия, нужно прежде всего установить ее исходные понятия, и притом так, чтобы они допускали различные формы истолкования. Затем надо показать существование множества, в котором все эти постулаты выполняются. Далее, если этих постулатов, скажем, десять, то необходимо указать еще рсять множеств, каждое из которых приспособлено для оказательства независимости одного из постулатов; в таком множестве должны выполняться девять постулатов, один — тот, независимость которого доказывается,— в этом множестве должен не выполняться. Первые попытки такого обоснования геометрии возникают в 90-х годах прошлого столетия и принадлежат главным образом итальянскому геометру Пеано и его ученикам Амодео, Фано, Пьери и др. 1 Частично такая попытка, впрочем, проводится уже в работе Паша, относящейся к 1882 г.2 Однако твердо стал на этот путь известный германский ученый Д. Гильберт. В 1899 г., в связи с открытием в Геттингене памятника Гауссу и Веберу, был выпущен сборник, содержавший две статьи, одна из которых принадлежала Гильберту и носила название «Основания геометрии»3. Первая глава этого сочинения содержит перечень постулатов, на которых строится евклидова геометрия; в ней даются также указания, как из этих постулатов геометрия развертывается. Вторая глава посвящена доказательству непротиворечивости и независимости установленных аксиом. Система Гильберта вызвала немало возражений, многие из которых он сам признал справедливыми. Это видно уже из того, что почти каждое из последующих изданий (их по настоящее время появилось семь, последнее выпущено в 1930 г.4) содержит значительные изменения в предложенной им системе, именно и вызванные сделанными указаниями. Для доказательства независимости постулата Гильберт следует тому пути, который был указан Лобачевским, он строит пространства, в которых выполняются все постулаты, кроме одного — именно того, независимость которого он хочет доказать. Можно ли считать систему, предложенную Гильбертом, вполне удовлетворяющей формулированным выше требованиям? Этого несомненно утверждать нельзя. В связи с работой Гильберта возникла целая дискуссионная литература, выяснившая, что самая постановка общего вопроса о независимости системы суждений еще нуждается в существенном уточнении. Несомненно, однако, что система Гильберта в общей своей структуре уже приближается к решению этой задачи, освобождению геометрии от тех «темных понятий», на которых,— по словам Лобачевского,— повторяя Евклида, строим мы геометрию. Лобачевский освободил геометрию Евклида от одного из «темных пятен», на ней лежавших, заполнил «пробел в теории параллельных линий». По его пути пошли в этом многие другие геометры, внесли ясность в обоснование геометрии, заполнили различные другие пробелы. Но до конца эту задачу нельзя еще считать разрешенной до настоящего времени. В чем же заключается причина того, что решение этой задачи так задержалось? Она коренится в двух обстоятельствах. Во-первых, в сложности самой задачи. Геометрия — это большое построение, подвести под которое прочный, безукоризненный фундамент очень трудно. Число постулатов, для этого необходимых, значительно; выбрать их так, чтобы ни одно из формулированных выше требований не нарушал ось,— задача очень сложная. Второе обстоятельство коренится в том, что самую независимость постулатов во всей их совокупности можно понимать различно. Нужно еще установить общую точку зрения на этот вопрос; это требует еще углубленной работы мысли в области логики. Тонкий специалист в вопросах обоснования математических дисциплин Менгер (К. Menger) высказывает даже сомнение в том, поставлена ли задача так, чтобы ее было возможно до конца разрешить. Эпоха, в течение которой на базе учения Лобачевского если еще не окончательно сложилось, то во всяком случае созрело современное учение об обосновании геометрии падает главным образом на четверть века, следовавшую за юбилеем, описанием которого мы закончили предыдущую главу. Но задача строгого логического обоснования возникла не только в геометрии, но и в других математических науках, — в частности, например, в различных алгебраических дисциплинах в их современной структуре. Очень важно то обстоятельство, что здесь аксиоматика всегда гораздо проще, чем в геометрии, и потому требование безукоризненного обоснования здесь несомненно ближе к осуществлению; в некоторых дисциплинах оно осуществлено полностью5. Методы обоснования всякой математической дисциплины,— больше того, методы обоснования всякой выводной науки в современной своей постановке ведут свое начало от замысла, от идей Лобачевского. На такое дедуктивное построение в настоящее время прежде всего претендуют механика и теоретическая физика. И в эти дисциплины идеи Лобачевского глубоко проникли в различных своих разветвлениях; Лобачевский это предусмотрел. 1G. Реаnо. I principii di geometria logicamente esposti. Torino, 1889. 2М. Pasсh. Vorlesungen iiber neuere Geometrie. Leipzig, 1882. 3D. Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Festschrift zur Feier der Enthullung des Gauss-Weber Denkmals in Gottingen. Leipzig. 1899. 4В этом издании к основной работе Гильберта «Об основаниях геометрии» присоединены в качестве приложений 10 его мемуаров, посвященных различным вопросам обоснования геометрии и математики вообще; они представляют очень большой интерес. Перевод основной работы на русский язык был выполнен А. В. Васильевым и выпущен в 1923 г. В 1948 г. Гостехиздат выпустил полный перевод VII издания (со всеми примечаниями) под редакцией професора П. К. Рашевского с его комментариями. 5Я считаю, например, систему постулатов, предложенную покойным С. О. Шатуповским для установления понятия о величине, совершенно безукоризненной (С. О. Шатуловский. О постулатах лежащих, в основании понятия о величине. Одесса, 1920 |
загрузка...